Introduzione ai sistemi di punti

Fino ad ora abbiamo parlato di un unico punto materiale, vediamo adesso cosa succede se abbiamo piu’ punti materiali, ossia quello che viene chiamato sistema di punti.

Se dobbiamo studiare piu’ punti con moti diversi, li dobbiamo studiare separatamente. Vediamo subito un esempio tipico. Consideriamo un proiettile sparato da un cannone con velocita’ iniziale V₀ che, ad un certo punto della parabola, esplode e si divide in tanti frammenti, per semplicita’ supponiamo 3 frammenti.

Fino a che il proiettile non esplode, sappiamo tracciare la sua traiettoria con semplicita’, ma dopo l’esplosione il nostro sistema si divide in tre parti ognuna delle quali segue la sua parabola. Se volessimo seguire ciascuna delle schegge avremmo certamente delle difficolta’, soprattutto perche’ in realta’ le parti in cui si divide il proiettile sono N e non tre soltanto.

Dato che queste N parti provengono da un unico corpo vengono chiamate sistema di punti.

Cerchiamo un modo semplice per studiare situazioni di questo tipo.

Consideriamo allora N schegge e numeriamole

J = 1, 2, …. , n J identifica la scheggia

Il moto di queste schegge e’ governato sia da forze interne al sistema, che sono le forze tra le schegge, sia da forze esterne al sistema come ad esempio la gravita’. Prima di andare avanti con il nostro studio dobbiamo stabilire un’importante relazione sulla conservazione della massa, ossia prima dell’esplosione avevamo un’unica massa, dopo ne abbiamo N. Se contiamo tutte le schegge ritroviamo la massa iniziale del proiettile perche’ la massa non sparisce. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{M_{tot}=\sum_{j=1}^{N}m_{J}}}$ .

Stabilita la conservazione della massa, consideriamo una sola scheggia m_J

In questo modo la possiamo vedere come un punto materiale, quindi possiamo studiarla applicando il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_J=m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J}}$ .

Questa F_J non e’ una sola forza, infatti ci sono le forze esterne, ad esempio P, che indichiamo come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_J}^{ext}}}$

e ci sono le forze inerne tra le schegge che indichiamo con la effe minuscola f

Tra la massa m_J e la massa m₁ c’e la forza f_J,1 che e’ l’attrazione sulla massa J dovuta alla massa 1

ovviamente c’e’ anche la f_J,2 tra la massa J e la massa 2 e cosi’ via per tutte le masse

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{f}_{J,1}+\overrightarrow{f}_{J,2}+\cdots\overrightarrow{f}_{J,N}+\overrightarrow{F_J}^{ext}=m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=m_J\,\frac{d^2r}{dt^2}}}$ .

Scriviamola sottoforma di sommatoria pero’, ovviamente, escludendo la forza f_J,J dato che la massa J non si attrae da sola.

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{k\neq J}^{N}\overrightarrow{f}_{J,k}+\overrightarrow{F_J}^{ext}=m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=m_J\,\frac{d^2r}{dt^2}}}$ .

Quello che vogliamo fare e’ arrivare ad eliminare tutte queste forze interne. Per farlo basta ricordarci il terzo principio della dinamica

alla forza f_J,1 corrisponde una forza f_1,J e queste due forze sono uguali e contrarie. Quindi cio’ che la massa j esercita sulla 1 e’ uguale ed opposta a cio’ che la massa 1 esercita sulla J.

Se applichiamo il secondo principio della dinamica ad ogni massa otteniamo le relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{f}_{1,2}+\overrightarrow{f}_{1,3}+\cdots\overrightarrow{f}_{1,J}+\overrightarrow{F_1}^{ext}=m_1\overrightarrow{\textbf{a}}_1\hspace{2cm}massa\;m_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{f}_{2,1}+\overrightarrow{f}_{2,3}+\cdots\overrightarrow{f}_{2,J}+\overrightarrow{F_2}^{ext}=m_2\overrightarrow{\textbf{a}}_2\hspace{2cm}massa\;m_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{f}_{3,1}+\overrightarrow{f}_{3,2}+\cdots\overrightarrow{f}_{3,J}+\overrightarrow{F_3}^{ext}=m_3\overrightarrow{\textbf{a}}_3\hspace{2cm}massa\;m_3}}$ .

…………………………………………………………….. ecc……..

Se ora sommiamo tutte queste relazioni e applichiamo il terzo principio

f_J,k = – f_k.J

otteniamo l’eliminazione di tutte le forze interne

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{J=1}^{N}\overrightarrow{F_J}^{ext}=\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=\sum_{J=1}^{N}\frac{d^2(m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J)}{dt^2}}}$ .

Dato che la derivata e’ un operatore lineare, possiamo invertire la derivazione con la sommatoria. La derivata della somma e’ uguale alla somma delle derivate.

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{J=1}^{N}\overrightarrow{F_J}^{ext}=\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=\frac{d^2}{dt^2}\,\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{r}_J}}$ .

La sommatoria delle forze esterne la chiamiamo F totale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_{tot}}^{ext}=\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=\frac{d^2}{dt^2}\,\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{r}_J}}$ .

Siamo arrivati alla relazione cercata, ora dobbiamo occuparci dell’ultimo termine, lo facciamo nella prossima lezione dove introduciamo il concetto di centro di massa.

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Prossima lezione Centro di massa