Linee di forza del campo elettrico

In questa lezione vogliamo riuscire a capire come costruire le linee di forza del campo elettrico.

Consideriamo una carica elettrica +Q (una sorgente) ed un punto P. In P non c’è niente, è un punto dello spazio intorno a +Q

Costruiamo il raggio che r che congiunge la carica +Q al punto P. Disegniamo poi il vettore E che sappiamo essere radiale esterno (ha la direzione del raggio e punta verso l’esterno).

Se ora togliamo il raggio r e il punto P

vediamo chiaramente il campo generato nel punto.

Consideriamo ora un altro punto e facciamo la stessa cosa di prima

Andando avanti nello stesso modo

Se i vari punti scelti sono tutti alla stessa distanza da +Q i vettori E hanno tutti stessa intensità.

Se ora completiamo tutto lo spazio intorno alla carica, abbiamo le linee di forza del campo elettrico generato dalla sorgente +Q

Abbiamo costruito le linee di forza del campo elettrico generato da una carica positiva +Q, ossia da una sorgente. Se in un punto qualunque del campo mettiamo una carica q, nasce una forza F = q E ( appunto vengono chiamate linee di forza).

Se la carica è negativa è detta pozzo e non sorgente ed il campo è radiale interno, cioè tiene la direzione del raggio, ma punta verso l’interno.

Ora dobbiamo estendere quanto visto al caso di più cariche presenti contemporaneamente in una zona dello spazio. Quando abbiamo studiato la forza elettrica abbiamo visto che era valido il principio di sovrapposizione degli effetti, dato che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{q}}}$

è ovvio che vale anche per il campo elettrico. Se abbiamo più cariche, ciascuna produce, se considerata da sola, un campo elettrico, il campo totale è dato dalla somma vettoriale dei singoli campi.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\overrightarrow{\mathbf{E}}_1+\overrightarrow{\mathbf{E}}_2+ \cdots}}$

Se le cariche sono solo due

Facendo la solita costruzione per ogni singola carica, disegniamo i campi E1 ed E2, infine operiamo la somma vettoriale

Se le cariche sono in numero di n, quindi se abbiamo un sistema di n cariche puntiformi, ci comportiamo allo stesso modo, valutiamo i singoli campi per poi farne la somma vettoriale. Consideriamo allora n cariche Q1 , Q₂, … , Q_i , … Q_npuntiformi. Per la generica carica i_esima scriveremo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=K_o\,\frac{Q_i}{\overrightarrow{\mathbf{r}}_i^2}}}$

Questo è il vettore E_i generato dalla carica Q_i posta in P(x_i , y_i , z_i ) , nel punto P(x, y, z). Come fatto nella lezione precedente valutiamo il vettore r_ie il modulo r_ie poi li sostituiamo nell’espressione del campo elettrico E_i

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{r}}_i=(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}$

Operiamo la sostituzione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=K_oQ_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{\bigl [(x-x_i)^2+(y-y_i)^2(z-z_i)^2\bigr ]^{\frac{3}{2}}}}}$

Il denominatore è elevato alla 3/2 perchè è la radice quadrata elevata al cubo.

Questo è per il singolo campo E_i generato dalla carica Q_i nel punto P. Per avere il vettore campo elettrico totale dobbiamo sommare tutti i contributi delle n cariche. Dobbiamo fare la sommatoria per i che va da 1 a n.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\mathbf{E}}_i=K_o\sum_{i=0}^n Q_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{\bigl [(x-x_i)^2+(y-y_i)^2(z-z_i)^2\bigr ]^{\frac{3}{2}}}}}$

Vediamo il caso di costruzione delle linee di forza del campo elettrico per due cariche positive poste a distanza 2a

Iniziamo con lo studiare il campo elettrico, dovuto alle due cariche poste nei punti 1 e 2, lungo gli assi x e y.

Campo lungo l’asse x

Applichiamo la sovrapposizione degli effetti e studiamo il campo generato in P dalla prima carica. Disegniamo prima il vettore r₁, poi il vettore campo elettrico E₁ , infine scomponiamo E₁ lungo la direzione degli assi.

Facciamo la stessa cosa per la carica posta nel punto 2

Costruiamo il vettore r₂ , il vettore campo elettrico E₂e lo scomponiamo lungo x e lungo y

Ora consideriamo i due campi insieme

Notiamo che c’è una condizione di simmetria. Negli esercizi bisogna sempre cercare e sfruttare le simmetrie, se presenti.

Se le due cariche Q hanno lo stesso valore e se distano da P della stessa quantità, E₁ ed E₂ hanno modulo uguale. In particolare hanno lo stesso valore le due componenti lungo x e le due componeneti lungo y. Le componenti lungo y hanno direzioni opposte, quindi si annullano. Possiamo non considerarle. Dobbiamo soltanto sommare le componenti lungo x e, dato che sono parallele, possiamo considerare direttamente i moduli.

A questo punto valutiamo E_1x , E2x , poi ne facciamo la somma.

Calcolo di E_1x

Abbiamo inserito l’angolo θ tra campo elettrico E₁ e l’asse x , la distanza a (metà di 2a) e la distanza x del punto P dall’origine degli assi.

Dalla figura :

$\displaystyle{\mathbf{E_{1x}=E_1\cos\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=r_1\cos\theta\,\Longrightarrow\, \cos\theta =\frac{x}{r_1}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{E_{1x}=E_1\,\frac{x}{r_1}}}$

In questa mettiamo l’espressione di E₁

$\displaystyle{\mathbf{E_1=K_o\,\frac{Q}{r_1^2}}}$

Per E_1x risulta

$\displaystyle{\mathbf{E_{1x}=K_o Q\,\frac{x}{r_1^3}}}$

Sempre riferendoci alla figura applichiamo il teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{r_1=\sqrt{a^2+x^2}}}$

Sostituiamo anche questo in E_1x

$\displaystyle{\mathbf{E_{1x}=K_o Q\,\frac{x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}}$

Ripetendo la stessa identica cosa per il campo elettrico della seconda carica otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{E_{2x}=K_o Q\,\frac{x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}}$

E finalmente sommiamo le due componenti

$\displaystyle{\mathbf{E_x=E_{1x}+E_{2x}=2K_o Q\,\frac{x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}}$

L’andamento di E_x in funzione di x (studio della finzione) risulta

Il campo è nullo per x = 0 e per x → ∞ ed è massimo per

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{a}{\sqrt{2}}}}$

Per calcolare il massimo valore di E_x basta uguagliare a zero la sua derivata prima.

Andamento del campo lungo l’asse x

L’andamento nei punti negativi dell’asse x è analogo.

Vediamo ora il campo lungo l’asse y

Ora lo studio è molto più semplice. Qualunque punto scegliamo lungo l’asse y, se esso è più vicino alla prima carica 1 (quella in alto), E₁ > E₂ e la loro somma è verso il basso. Per un punto vicino alla seconda carica E₂ > E₁e vale il contrario. (Siamo lungo una retta).

Uniamo ora i due risultati ottenuti lungo x e y

Questo è l’andamento del campo elettrico, dovuto alle due cariche positive poste a distanza 2a, lungo gli assi x e y

Per avere il campo completo ci resta da vedere l’andamento in tutte le altre direzioni. Ottenerlo è semplice, basta disegnare le due cariche con le linee di forza del campo elettrico che generano se non influenzate da altre cariche

Per tutti gli altri punti, dato che le linee di forza del campo elettrico non si intrecciano mai, vuol dire che non possono attraversare l’asse delle x. Le linee si piegano.

Linee di forza del campo elettrico dovute a due cariche uguali

Se le due cariche hanno segno opposto, una positiva e una negativa, si ha il dipolo elettrico. Lo studiamo nella prossima lezione.

Prossima lezione Dipolo elettrico