Statica – La scala

Questo e’ un tipico esercizio, molto gettonato. Abbiamo una scala appoggiata al muro e cerchiamo la condizione di equilibrio, ossia la condizione affinche’ rimanga appoggiata alla parete

Quello che cerchiamo e’ il valore massimo dell’angolo θ

Le forze che agiscono sulla scala sono: la forza peso, che applichiamo nel baricentro della scala, la reazione nel punto C della parete, la reazione nel punto B e l’attrito A_S statico visto che cerchiamo l’equilibrio.

La prima equazione cardinale per l’equilibrio ci dice che la somma di tutte le forze esterne applicate deve essere nulla

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}=0}}$

Questa la proiettiamo lungo gli assi X e Y

$\displaystyle{\begin{cases} asse\; x\, : \; \textbf{-P}+\textbf{R}_B\textbf{=0} \\ asse\; y\, :\; \textbf{R}_C-\textbf{A}_S\textbf{=0}\end{cases}}$

da cui ricaviamo

$\displaystyle{\begin{cases} \textbf{R}_B =\textbf{P} \\ \textbf{A}_S=\textbf{R}_C\end{cases}}$

La seconda equazione cardinale per la statica ci dice che deve essere pari a zero il momento totale delle forze esterne. Il punto intorno al quale pensiamo la rotazione e’ B, scegliamo questo punto perche’ in tal modo eliminiamo i momenti di A_S e di R_B . Rimangono i momenti della forza peso e della reazione nel punto C. Per valutare questi momenti dobbiamo trovare le distanze dal nostro asse di rotazione.

Se la scala e’ lunga L, la forza peso P e’ applicata in L/2 e la sua distanza da B e’ L/2sinθ

$\displaystyle{\mathbf{M_P=P\,\frac{L}{2}\,\sin\theta}}$

La forza peso, da sola, farebbe cadere la scala facendola ruotare in senso antiorario.

La reazione della parete dista da B di Lcosθ

$\displaystyle{\mathbf{M_{R_{C}}=-R_CL\cos\theta}}$

Questo momento e’ contrario a quello di P. Abbiamo un momento positivo e un momento negativo che si possono equilibrare.

$\displaystyle{\mathbf{M_P+M_{R_{C}}=P\,\frac{L}{2}\,\sin\theta-R_CL\cos\theta=0\;\longrightarrow\; R_CL\cos\theta=P\,\frac{L}{2}\,\sin\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{R_C=\frac{P}{2}\, \tan\theta}}$

Le equazioni che abbiamo stabilito sono

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\textbf{R}_B\textbf{=P} \\\textbf{A}_S\textbf{=R}_C \\ \textbf{R}_C\textbf{=}\frac{\textbf{P}}{\textbf{2}}\, tan\theta\end{cases}}}$

Per la staticita’ deve essere

$\displaystyle{\mathbf{A_S=R_C=\frac{P}{2}\,\tan\theta\leq A_{max}=\mu_SR_B=\mu_SP}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{P}{2}\,\tan\theta\leq \mu_SP}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\mu_S\geq\frac{tan\theta}{2}}}$

Da questa relazione deduciamo che il fatto che la scala non cade non e’ legato al peso della scala, ma e’ una condizione legata a μ_S e all’angolo θ. Per non cadere con tutta la scala o diminuiamo l’angolo o mettiamo dei gommini sotto la scala, ossia incrementiamo μ_S .

Dalla prossima lezione iniziamo un argomento un po’ delicato, che svolgeremo con molta attenzione

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