Campo elettrico di una lastra piana

Come esempio di applicazione del teorema di Gauss calcoliamo il campo elettrico di una lastra piana. (Questa parte è dedicata al liceo, per l’università vai nel menù in alto).

Questa è la nostra lastra carica in maniera uniforme e vista dall’alto e di lato. Le linee del campo elettrico E sono ortogonali al piano.

Vogliamo calcolare il campo elettrico generato da questa distribuzione di carica in un punto P. Lo facciamo con il teorema di Gauss.

Come prima cosa dobbiamo scegliere una superficie chiusa attraverso la quale calcoliamo il flusso uscente da essa.

La superficie S la scegliamo in modo da semplificarci i calcoli. Prendiamo un cilindro passante per il punto P. Quello in rosso.

Se consideriamo il cilindro composto dall’unione di una superficie laterale e di due superfici di base, vediamo che lungo tutta la superficie laterale il flusso è nullo. Infatti

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{E})=ES\cos\alpha =0}}$

Perchè la superficie S e il campo elettrico E sono ortogonali tra di loro e cos90^o=0

Le normali alle superfici sono indicate con la freccetta blù.

Invece, lungo le due superfici di base, il flusso è massimo dato che la normale (blù) e il campo elettrico sono paralleli, ossia formano un angolo α uguale a zero.

coso^o= 1

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{S_1}(\overrightarrow{E})=ES_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{S_2}(\overrightarrow{E})=ES_2}}$

Con S1 e S2 abbiamo chiamato le due superfici di base.

Ora calcoliamo il flusso totale

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{E})=ES_1+ES_2}}$

Ma S1 e S2 sono uguali, le indichiamo semplicemente con S

$\displaystyle{\mathbf{S_1=S_2=S}}$

Quindi per il flusso totale avremo

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{E})=ES+ES=2ES}}$

Una volta trovato il flusso del vettore campo elettrico applichiamo la legge di Gauss . Essa ci dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari a

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{E})=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}}}$

Q_intè la carica interna alla superficie chiusa S, ε_oè la costante dielettrica del vuoto. Uguagliamo i due flussi trovati

$\displaystyle{\mathbf{2ES=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}}}$

e ricaviamo il campo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{Q_{int}}{2\epsilon_o\, S}}}$

Ricordiamo la definizione di densità superficiale di carica σ

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{Q}{S}}}$

quanta carica c’è sulla superficie S. La Q_intla possiamo allora esprimere come la densità superficiale di carica moltiplicata per la superficie.

$\displaystyle{\mathbf{Q_{int}=\sigma\, S}}$

Questa la sostituiamo nell’espressione del campo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma S}{2\epsilon_o S}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Nell’espressione finale che abbiamo trovato per il campo elettrico non compare la distanza dalla lastra piana. Possiamo concludere che E non dipende dalla distanza, non solo, esso è sempre costante perchè sia σ che ε₀ lo sono.

Il campo elettrico generato da una lastra piana è uniforme.

E’ molto importante studiare il caso in cui le lastre sono due e affacciate, di cui una caricata con carica positiva e l’altra negativa.

Cerchiamo di capire il disegno a fianco. Le linee del campo elettrico della distribuzione positiva sono riportate con le frecce rosse e sono ovunque uscenti dalla lastra positiva. Quelle della distribuzione negativa hanno le frecce blù e sono ovunque entranti alla lastra negativa.

Dato che le due lastre sono uguali e che lo sono anche le due distribuzioni di carica +σ e -σ , succede che i campi elettrici all’interno delle due lastre si sommano dando luogo al campo

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\, +\, \frac{\sigma}{2\epsilon_o}=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$

mentre all’esterno hanno direzioni opposte e danno luogo ad un campo elettrico nullo. Fuori dalle lastre

$\displaystyle{\mathbf{E=0}}$

Due lastre cariche, di cui una positiva e l’altra negativa, costituiscono un sistema detto condensatore piano che studieremo più avanti.

Spero che abbiate capito che le due lastre sono metalliche, infatti abbiamo sempre parlato di distribuzione superficiale di carica, non volumetrica. Nei metalli le cariche si distribuiscono sulla superficie. Dentro ai conduttori le cariche non ci sono. Perché ?

Nei conduttori le cariche sono mobili e tutte dello stesso segno, quindi si respingono e si allontanano portandosi sulla superficie.

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