Energia potenziale delle forza elastica e gravitazionale

Consideriamo la nostra solita molla in due posizioni, P di partenza e P_rif punto di riferimento. Abbiamo preso come punto di riferimento il punto di equilibrio dove la forza e’ nulla. Calcoliamo il lavoro della forza elastica per questo spostamento, ricordando che F_el = – k x

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{F}_{el}\cdot d\overrightarrow{S}=-kxdx}}$ .

Questo e’ il lavoro elementare, se integriamo tra il punto P e il punto di riferimento otteniamo l’energia potenziale.Questo e’ vero perche’ la forza elastica e’ una forza conservativa.

$\displaystyle{\mathbf{\Delta U=U_P=L_{P,P_{rif}}=\int_{P}^{0}-kx\,dx=\left [-\frac{1}{2}kx^2\right ]_x^0=\frac{1}{2}kx^2}}$ .

Vogliamo ora trovare le superfici equipotenziali. Sappiamo che sono tutti i punti per cui U = cost.

Dobbiamo, allora, vedere dove 1/2 kx² e’ costante, lo è dove e’ costante x². Sono ovviamente dei piani verticali e sono sia quelli con x > 0 che quelli con x < 0 perche’ la x e’ al quadrato

Questo vuol dire che abbiamo lo stesso valore di energia potenziale U sia se estendiamo la molla che se la comprimiamo, ovviamente di una stessa quantita’.

Energia potenziale della forza gravitazionale

Consideriamo il sole e la terra. Per il solo fatto di essere in un punto della spazio, la terra, ha una sua energia potenziale U(r). Per calcolare questa energia dobbiamo trovare il lavoro compiuto per spostarla da quel punto fino ad un riferimento dove non ci sono forze. Abbiamo gia’ specificato come scegliamo il punto di riferimento, nel punto dove si annulla la forza. In questo caso viene preso a distanza infinita perche’ la forza gravitazionale F_G dipende da 1/r² e l’assenza di forza si ha all’infinito e li’ poniamo lo zero di energia potenziale.

Calcoliamo il lavoro per uno spostamento dr

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}}}$ .

La forza e’ la forza gravitazionale, la F_G

$\displaystyle{\mathbf{F_G=G\,\frac{M_AM_B}{r^2}\,dr}}$ .

Tenendo conto che l’angolo tra la forza e lo spostamento dr e’ π per il lavoro si ha :

$\displaystyle{\mathbf{dL=-G\,\frac{M_AM_B}{r^2}\,dr}}$ .

L’energia potenziale e’ l’integrale del lavoro tra la posizione r di interesse e quella di riferimento ∞

$\displaystyle{\mathbf{U(r)=\int_{r}^{\infty}-G\,\frac{M_AM_B}{r^2}\,dr=-GM_AM_B\int_{r}^{\infty}\frac{dr}{r^2}=-GM_AM_B\left [\frac{1}{\infty}+\frac{1}{r}\right ] =-G\,\frac{M_AM_B}{r}}}$ .

Vediamo ora le superfici equipotenziali. Sappiamo che per esse U(r) = cost e questo e’ vero se e’ costante r, quindi sono tutti i punti per cui r = cost. Nello spazio il luogo dei punti con r = cost e’ una sfera.

Mano a mano che ci avviciniamo ad un pianeta l’energia potenziale U(r) aumenta in valore negativo partendo dal valore zero che ha nel punto di riferimento.

Riportiamo qui di seguito uno specchietto, molto utile per gli esercizi, dove scriviamo la forza e la relativa energia potenziale

Forza Energia potenziale
$\displaystyle{\mathbf{F_G=G\frac{M_AM_B}{r^2}\hspace{5cm}U^G(r)=-G\frac{M_AM_B}{r}}}$
$\displaystyle{\mathbf{P=-mg\hspace{6,1cm}U^P(z)=mgz}}$
$\displaystyle{\mathbf{F_{el}=-kx\hspace{5,9cm}U^{el}(x)=\frac{1}{2}kx^2}}$
$\displaystyle{\mathbf{F_c=m\omega^2r\hspace{5,8cm}U^{F_c}(x)=-\frac{1}{2}m\omega^2r^2}}$

Dobbiamo ora affrontare la conservazione dell’energia meccanica.

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Energia potenziale delle forza elastica e gravitazionale

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