Teoremi sui triangoli rettangoli

Per studiare i teoremi sui triangoli rettangoli torniamo indietro alla definizione delle funzioni seno e coseno.

Teoremi sui triangoli Se siamo nel primo quadrante

0 < α < π/2

sappiamo che

senα = HP e cosα = OH

HP e OH sono i cateti del triangolo rettangolo OHP. Le relazioni scritte prima per il seno e il coseno sono state scritte nel caso OP = 1, ossia quando l’ipotenusa del triangolo rettangolo è pari a 1.

Studiamo ora un’altra situazione nella quale OP < 1

Studio dei triangoli rettangoli OHP è ancora un triangolo rettangolo, ma l’ipotenusa OP ha misura minore di 1.

Notiamo che i due triangoli OHP e OMQ sono simili, quindi possiamo scrivere

OH:OM=OP:OQ

PH:QM=OP:OQ

Dato che OQ è il raggio della circonferenza goniometrica, sicuramente OQ = 1, quindi

OH = OM × OP

PH = QM × OP

con OM = cosα e QM = senα (vedi figura)

Risulta allora

OH = OP cosα

PH = OP senα

Vediamo, infine un altro caso, nel quale OP > 1

Teoremi sui triangoli Di nuovo i due triangoli rettangoli OMQ e OHP sono simili.

OM : OH = OQ : OP

QM : PH = OQ : OP

dove OQ = 1

OH = OP × OM

PH = OP × QM

Dato che OM = cosα e QM = senα otteniamo

OH = OP cosα

PH = OP senα

Riassumiamo il tutto

$\displaystyle{\mathbf{b=a\sin\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{c=a\cos\alpha}}$ .

Essendo β il complementare di α si ha anche

$\displaystyle{\mathbf{b=a\cos\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{c=a\sin\beta}}$ .

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è pari a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente o per il seno dell’angolo opposto.

$\displaystyle{\mathbf{b=a\sin\alpha}}$

$\displaystyle{\mathbf{c=a\cos\alpha}}$

Dividendo membro a membro le due relazioni si ha

$\displaystyle{\mathbf{\frac{b}{c}=\frac{a\sin\alpha}{a\cos\alpha}=\tan\alpha}}$

Allo stesso modo dalle relazioni

$\displaystyle{\mathbf{b=a\cos\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{c=a\sin\beta}}$

Otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{b}{c}=\frac{a\cos\beta}{a\sin\beta}=\cot\beta}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{b=c\tan\alpha =c\cot\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{c=b\tan\beta =b\cot\alpha}}$

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è pari a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto o, anche, per la cotangente dell’angolo acuto ad esso adiacente.

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