Esercizio 3 Cinematica

Un treno che viaggia a 85 km/h viene frenato in 17s . Supponendo che il moto sia uniformemente ritardato, si calcoli il valore dell’accelerazione e lo spazio percorso prima di fermarsi.

L’esercizio e’ simile a quello precedente solo che ora l’accelerazione e’ una decelerazione, ossia e’ negativa perche’ e’ rivolta in verso contrario al moto, ma e’ comunque costante

a = – a₀

Sappiamo che l’accelerazione e’ la derivata della velocita’ nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{dv}{dt}\Longrightarrow\int_{v_0}^{v}\,dv = \int_{t_0}^{t}-a\,dt\Longrightarrow v-v_0 = -a_0(t-t_0)}}$

Questa volta V₀ non e’ pari a zero perche’ all’inizio della nostra osservazione il treno sta’ viaggiando a 85 km/h, questa e’ la sua velocita’ iniziale. Possiamo porre invece t₀ = 0 perche’ nulla ci vieta di iniziare le nostra osservazione dall’istante zero.

V – V₀ = – a₀ t ⇒ V = V₀ – a₀ t

Da questa relazione dobbiamo trovare a, noi conosciamo V₀ e t soltanto, abbiamo due incognite V e a₀ e una sola equazione, come facciamo ? Dobbiamo imporre una condizione, ma quale ?

L’esercizio vuole accelerazione e spazio prima di fermarsi, quando e’ che il treno e’ fermo ? Quando V =0, allora imponiamolo nella nostra equazione

0 = V₀ – a₀ t

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{v_0}{t}}}$

La velocita’ iniziale e’ data in km/h la dobbiamo trasformare in m/s come fatto nell’esercizio precedente

$\displaystyle{\mathbf{\frac{85 km}{h} =\frac{85}{3,6} = 23,6 m/s}}$

Inserendo i dati

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{23,6}{17} = 1,39s}}$

Vediamo lo spazio percorso. Come al solito, se abbiamo la velocita’, sapendo che

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{dx}{dt}\Longrightarrow dx = v dt}}$

Integrando troviamo x, ossia lo spazio percorso

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x}\,dx= \int_{t_0}^{t}(v_0 - a t)\,dt}}$

Dato che possiamo porre X₀ = 0 e t₀ = 0 come condizioni iniziali, avremo

$\displaystyle{\mathbf{x = v_0 t - \frac{1}{2} a t^2 = 23,6\times 17 - \frac{1}{2}\times 1,39 \times (17)^2 \simeq 200m}}$