Campo elettrico generato da un anello uniformemente carico

Per studiare il campo elettrico generato da un anello uniformemente carico consideriamo un anello sul quale è distribuita una carica , ad esempio positiva, equispaziata.

Vogliamo studiare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, ossia quello passante per il centro, che indichiamo come asse x.

Notiamo subito, per ragioni di simmetria, che il campo al centro dell’anello è nullo, infatti per ogni carica infinitesima dq che possiamo considerare lungo l’anello, ne esiste una simmetrica dalla parte opposta che dà un contributo uguale e contrario.

Prendiamo quindi un punto P lungo l’asse x, che non sia il centro, dove studiare il campo.

Quello che dobbiamo fare è considerare gli elementini di carica dq lungo la circonferenza, vedere per ognuno il contributo dE al campo elettrico e infine sommare tutti i contributi.

Prima di andare avanti ricordiamo la densità lineare di carica

$\displaystyle{\mathbf{\lambda =\frac{dq}{dl}}}$

Che nel caso di distribuzione uniforme può essere scritta anche

$\displaystyle{\mathbf{\lambda =\frac{dq}{dl}=\frac{q_{tot}}{l}}}$

dato che l è la lunghezza del filo, sarà pari alla lunghezza della circonferenza

$\displaystyle{\mathbf{\lambda =\frac{q_{tot}}{2\pi R}}}$

Iniziamo considerando un pezzetto infinitesimo di circonferenza contenente la carica anch’essa infinitesima dq.

L’elementino di circonferenza lo prendiamo nella parte superiore dell’anello per facilitare la costruzione geometrica.

Scelto il punto P di coordinata x, disegniamo il vettore r che unisce l’elemento sorgente dq al punto P. Disegniamo poi il contributo al campo E, dE, che sappiamo essere radiale esterno. Tiene la direzione di r e va verso l’esterno perchè la carica è positiva.

Scriviamo il modulo del campo elettrico elementare dE

$\displaystyle{\mathbf{dE=\frac{dq}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

Esprimiamo anche r

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{x^2+R^2}}}$

Abbiamo semplicemente applicato Pitagora.

Il vettore dE è inclinato di un angolo θ rispetto all’asse x. Conviene scomporre dE nelle due componenti lungo x e y

$\displaystyle{\mathbf{dE_x=dE\cos\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dE_y=dE\sin\theta}}$

Dalla figura ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{\cos\theta =\frac{x}{r}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin\theta =\frac{R}{r}}}$

Sostituiamo in dE_x e in dE_y

$\displaystyle{\mathbf{dE_x=dE\,\frac{x}{r}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dE_y=dE\,\frac{R}{r}}}$

Andiamo ora a considerare la carica infinitesima dq’ simmetrica alla dq considerata prima.

Abbiamo messo una visuale laterale dell’anello per rendere la scomposizione più chiara.

Costruiamo il vettore dE’, contributo di dq’ e lo scomponiamo secondo x e y come fatto per il vettore dE.

Dato che la distribuzione è uniforme, le due cariche dq e dq’ risultano uguali. Anche i raggi r ed r’ sono uguali, in modulo ovviamente. Questo vuol dire che dE e dE’ hanno lo stesso modulo (l’inclinazione è diversa).

Per quanto riguarda le componenti si vede che dE_y e dE’_y sono uguali ed opposte, ossia si compensano. I contributi dE_y non li consideriamo.

Le componenti lungo x non si compensano perchè hanno lo stesso segno. Tutto questo vale perchè la distribuzione di carica è uniforme ed il filo è una circonferenza.

Il campo totale lo otteniamo come somma integrale di tutti i contributi dE_x

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\int dE_x}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\int \frac{dq}{4\pi\epsilon_o r^2}\,\frac{x}{r}}}$

4πε₀ è ovviamente un termine costante

x non varia, è il nostro punto di osservazione P

r non cambia, in modulo. Mano amano che ci spostiamo lungo l’anello r non varia mai.

Tutto questo, allora, lo possiamo portare fuori dal simbolo dell’integrale

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{x}{4\pi\epsilon_o r^3}\,\int dq=\frac{q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{x}{r^3}}}$

Prendiamo l’espressione di r

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{x^2+R^2}}}$

e ce la sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}}}$

Questa è l’espressione del campo lungo l’asse dell’anello. Il campo elettrico risulta nullo per x=0 e per x → ∞ ed ha un massimo per

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dE}{dx}=0}}$