Energia cinetica esempio con piano inclinato

Consideriamo una massa m inizialmente ferma alla sommita’ di un piano inclinato di un angolo α

Vogliamo trovare con quale velocita’ finale la massa m arriva alla base del piano inclinato. Iniziamo a vedere la forze che agiscono sulla massa m

asse n : R_n – Pcosα = 0

asse t : Psinα – A_d = m a

Lavoro della forza peso

$\displaystyle{\mathbf{L_P=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{S}=mgs\cos \left (\frac{\pi}{2} -\alpha\right )=mg\sin\alpha}}$

L’angolo tra P e S e’ π/2 – α , inoltre cos( π/2 – α) = sinα. Esprimiamo poi S tramite h

$\displaystyle{\mathbf{S=\frac{h}{\sin\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_P=mg\,\frac{h}{\sin\alpha}\,\sin\alpha=mgh}}$

Il lavoro della forza peso e’ legato solo al dislivello.

Lavoro della reazione vincolare

L_Rn = 0 la reazione vincolare e’ sempre normale al piano

Lavoro dell’attrito

L_Ad = A_d S cosπ = – A_d S = – μ_d R_n S Dallo studio delle forze ricaviamo che R_n =Pcosα = mgcosα

$\displaystyle{\mathbf{L_{Ad}=-\mu_dmg\cos\alpha\, s=-\mu_dmg\cos\alpha\,\frac{h}{\sin\alpha}=-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}\,mgh}}$ .

Lavoro totale

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=mgh\left (1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}\right )}}$ .

Variazione di energia cinetica

Energia cinetica iniziale E_c1 = 0 perche’ la massa m inizialmente e’ ferma

Energia cinetica finale E_c2 = 1/2 m V²_fin

Variazione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{\Delta E_c=E_{c2}-E_{c1}=\frac{1}{2}mV_{fin}^2}}$ .

Applichiamo il teorema del lavoro e dell’energia cinetica L_tot = ΔE_c

$\displaystyle{\mathbf{mgh\left (1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}\right )=\frac{1}{2}mV_{fin}^2}}$ .

Da questa ricaviamo la velocita’ finale, quella con cui la massa m arriva alla base del piano inclinato

$\displaystyle{\mathbf{V_{fin}=\sqrt{2gh}\sqrt{1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}}}}$ .

E’ lo stesso risultato gia’ visto nello studio del piano inclinato fatto nella dinamica. Abbiamo perso ogni riferimento al tempo, proviamo a recuperarlo. Partiamo dalle equazioni lungo n e t

asse n : R_n = Pcosα

asse t : Psinα – A_d = m a

ricaviamo l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{P\sin\alpha-A_d}{m}=\frac{P\sin\alpha-\mu_dR_n}{m}=\frac{P\sin\alpha-\mu_dP\cos\alpha}{m}=\frac{mg\sin\alpha-\mu_dmg\cos\alpha}{m}=g\sin\alpha\left (1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}\right )}}$ .

Ora applichiamo la cinematica sapendo che si tratta di un moto uniformemente accelerato, quindi con leggi

$\displaystyle{\mathbf{v=at\hspace{0,5cm}s=\frac{1}{2}at^2\hspace{0,3cm}dove\;s=\frac{h}{\sin\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{1}{2}at_{fin}^2\Longrightarrow \hspace{0,2cm}t_{fin}=\sqrt{\frac{2h}{a\sin\alpha}}=\frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}}\,\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_{fin}=at_{fin}=\sqrt{2gh}\sqrt{1-\frac{\mu_d}{\tan\alpha}}}}$

Nella prossima lezione approfondiamo il concetto di campi di forze conservativi e non conservativi con qualche esempio.

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Prossima lezione Esempi di forze non conservative