Tensione della fune

Per fune intendiamo un filo inestensibile, ossia che non si allunga, di massa trascurabile e che, se messa in tensione, sviluppa forze uguali ai suoi capi. Queste forze vengono indicate con la lettera T e sono chiamate tensione della fune.

Applicando una forza alla fune, questa la trasmette alla massa

La tensione della fune e’ sempre parallela alla fune. Per cambiare la direzione della fune, quindi della forza, occorre usare una carrucola.

In questo modo la tensione T e’ stata trasformata da orizzontale a verticale. La carrucola, detta anche puleggia, viene per ora considerata priva di massa e di attriti e con il solo scopo di cambiare direzione alla tensione della fune.

Consideriamo una fune e applichiamo ad esse due forze agli estremi

la fune entra in tensione. Applichiamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_A}+\overrightarrow{F_B}=m\overrightarrow{a}=0}}$ .

Dato che abbiamo supposto m = 0. Questo vale comunque si muova la fune, verso destra o verso sinistra, e qualunque sia la sua accelerazione.

F_A= F_B = T Le due forze agli estremi, uguali ed opposte, le chiamo T. Questa tensione T corre lungo tutta la fune, cio’ vuol dire che ogni pezzo di fune ha quella tensione T. Tutto questo ovviamente solo nel caso ideale di massa nulla.

Carrucole

Vengono utilizzate per il sollevamento dei pesi in maniera fissa o mobile, singole o abbinate per ottenere facilitazioni nello sforzo.

Carrucola fissa

In questo caso non ho vantaggi per quanto riguarda la forza che debbo applicare per sollevare il peso, ma solo nella direzione, non debbo tirare verso l’alto, ma verso il basso. Questo dispositivo e’ noto come macchina di Atwood e la vedremo meglio nella meccanica dei sistemi.

Nella carrucola fissa l’asse della puleggia e’ fisso e la ruota ha la sola funzione di deviare la forza applicata ad un’estremita’ della fune, essa deve sopportare il doppio della forza.

Carrucola mobile

In questo caso la meta’ del peso, 50 N li sopporta il soffitto, noi dobbiamo applicare la meta’ della forza.

Vediamo come si affrontano i problemi dove sono presenti delle funi

Le tre masse sono legate con tre funi diverse, attenzione perche’ in questo caso ogni fune ha la sua tensione. Per semplicita’ consideriamo un piano non scabro, ossia liscio, senza attrito. Applichiamo una forza F alla prima fune. Questa forza viene trasmessa alla massa M_A, quindi T₁ = F.

La corda di mezzo si tende e avra’ uno stato di tensione T₂ ≠ T₁, questa T₂ su M_A, che fa’ da zavorra, da’ luogo alla tensione T₂ trainante per M_B_.Per la terza fune avviene la stessa cosa e si vengono a generare le due tensioni uguali ed opposteT₃ . T₁ T₂ e T₃ sono applicate alle masse.

Applichiamo il terzo principio alle tre masse

Massa M_A : T₁ – T₂ = M_A a

Massa M_B: T₂ – T₃ = M_B a

Massa M_c : T₃ = M_c a

Di solito le incognite sono le tensioni e l’accelerazione, se sommiamo membro a membro le tre equazioni vengono a sparire le tensioni e possiamo calcolarci l’accelerazione.

T₁ = ( M_A + M_B + M_c ) a ma dato che T₁ = F

$\displaystyle{\mathbf{\huge a=\frac{F}{M_A+M_B+M_C}}}$ .

Trovata l’accelerazione possiamo calcolarci le tensioni della fune

$\displaystyle{\mathbf{T_3=M_C\hspace{0,1cm} a=\frac{M_CF}{M_A+M_B+M_C}=\frac{M_C}{M_{tot}}F}}$ .

Da questa si vede che T₃ e’ una frazione della forza F. Calcolamo T₂

$\displaystyle{\mathbf{T_2-T_3=M_B \hspace{0,1cm} a \Longrightarrow T_2=T_3+M_B \hspace{0,1cm} a=\frac{M_C}{M_{tot}}F+\frac{M_BF}{M_{tot}}=\frac{M_B+M_C}{M_{tot}}F}}$

Vediamo un esempio in cui e’ presente anche una carrucola

Si vuole spostare la massa m₂ tramite la massa m₁ utilizzando una fune e una carrucola.

La forza che traina tutto il sistema e’ P₁

Le due tensioni T sono una trainante, quella su m₂ e una franante, quella su m₁. Se siamo in assenza di attrito sicuramente P₁ fa’ muovere tutto il sistema. In presenza di attrito, A_{s ,} non e’ detto che il sistema si muova, l’attrito puo’ essere tale da generare una situazione statica. Vogliamo trovare le condizioni per cui il sistema e’ fermo o in moto e, in questo secondo caso, calcolarci l’accelerazione del sistema.

Quello raffigurato e’ il caso statica, e’ infatti presente As .Se tutto e’ fermo il secondo principio della dinamica applicato alle due masse e’ :

Massa m₁ : T – P₁ = 0 l’equazione e’ solo lungo y

Massa m₂ : asse x T – As = 0 asse y R₂ – P₂ = 0

Da queste ricaviamo

As = T e T = P₁ ⇒ As = P₁

Dobbiamo ora ricordarci che per trovarci nel caso statico deve essere verificata la disuguaglianza

As ≤ Amax dove Amax = μ_s R₂ = μ_s P₂ ⇒ As ≤ μ_s P₂

As = T = P₁ ≤ Amax = μ_s P₂ da questa ricaviamo che P₁ ≤ μ_s P₂ ⇒ m₁ g ≤ μ_sm₂ g e per finire

m₁ ≤ μ_sm₂ Questa e’ la condizione statica

Se m₁ > μ_sm₂ passiamo al caso dinamico

Nel caso dinamico compare Ad in luogo di As abbiamo inoltre introdotto gli assi t e n, il moto avviene lungo l’asse t. La massa m₁ si muove in verticale mentre la massa m₂ si sposta in orizzontale.

Scriviamo il secondo principio per le due masse

Massa m₁

asse t : P₁ – T = m₁a

Massa m₂

asse t : T – Ad = m₂ a

asse n : R₂ – P₂ = 0

Ovviamente affinche’ ci sia movimento deve essere T > Ad. Normalmente le incognite sono T e l’accelerazione. Prendiamo le equazioni lungo t e le sommiamo membro a membro per eliminare le tensione T

$\displaystyle{\mathbf{T-A_d=m_2a\vspace{0,2cm}}}$ .

$\displaystyle{\vspace{0,2cm}\mathbf{P_1-T=m_1a}}$

Otteniamo cosi’

P₁– Ad = (m₁ + m₂)a da questa ricaviamo a

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{P_1-A_d}{m_1+m_2}}}$ .

Operiamo ora le sostituzioni P₁ = m₁ g e Ad = μ_d Rn

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{m_1g-\mu_dR_n}{m_1+m_2}=\frac{m_1g-\mu_dm_2g}{m_1+m_2}=g\hspace{0,1cm}\frac{m_1-\mu_dm_2}{m_1+m_2}}}$ .

Da questa deduciamo che l’accelerazione a e’ una frazione di g perche’ m₁ – μ_dm₂ < m₁ + m₂ e la frazione che moltiplica g e’ < 1, inoltre vediamo che m₁ e’ il termine positivo che produce l’accelerazione mentre – μ_dm₂ costituisce l’azione frenante. Se m₁ > μ_dm₂ ci viene un’accelerazione positiva e tutto va bene, se ci viene negativa, visto che il moto non puo’ avvenire nella direzione opposta, vuol dire che abbiamo sbagliato l’ipotesi iniziale, ossia vuol dire che siamo nel caso statico e le masse non si muovono.

Una volta trovata l’accelerazione, la mettiamo in una delle due equazioni di partenza e troviamo la tensione della fune. Prendiamo ad esempio quella relativa alla massa m₁

$\displaystyle{\mathbf{P_1-T=m_1a\Longrightarrow T=P_1-m_1a=m_1g-m_1a=m_1(g-a)=m_1\left (g-g\hspace{0,2cm}\frac{m_1-\mu_dm_2}{m_1+m_2}\right )}}$ .

Ora facciamo qualche semplice passaggio aritmetico

$\displaystyle{\mathbf{T=m_1g\left (1-\frac{m_1-\mu_dm_2}{m_1+m_2}\right )=m_1g\left (\frac{m_1+m_2-m_1+\mu_dm_2}{m_1+m_2}\right )=m_1g\hspace{0,2cm}\left (\frac{m_2+\mu_dm_2}{m_1+m_2}\right )=m_1g\hspace{0,2cm}\frac{m_2(1+\mu_d)}{m_1+m_2}}}$ .

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Tensione della fune

Carrucole

Vediamo un esempio in cui e’ presente anche una carrucola

Nella prossima lezione vedremo un esempio con funi, pesi e piano inclinato.

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