Esercizi campo magnetico nel vuoto

Le pagine 1, 2 e 3 degli esercizi campo magnetico nel vuoto sono dedicate al moto delle cariche in campi magnetici. Dalla pagina 4 iniziano gli esercizi sulle formule di Laplace.

Esercizio 1

Un elettrone viene accelerato con una d.d.p. di 100 KV. Viene poi immesso perpendicolarmente alle linee di forza di un campo magnetico uniforme di induzione B =0,1 T. Calcolare il raggio di curvatura della traiettoria descritta dall’elettrone.

Abbiamo una carica che si muove a velocità v in un campo magnetico, essa è quindi sottoposta alla forza di Lorentz

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Questa forza fa deviare la carica. Direzione e verso della forza di Lorentz sono date dalla regola della mano destra.

Forza di Lorentz In questo esempio, che non ha nulla a che fare con il nostro esercizio, la carica q si muove verso l’alto e il campo è uscente (rivolto verso di voi). Se mettete il pollice come la velocità, l’indice come il campo B, il medio vi da direzione e verso della forza. Le tre dita devono formare angoli retti tra di loro.

Nel nostro esercizio velocità e induzione magnetica sono perpendicolari, il prodotto vettoriale è massimo e il modulo della forza è:

$\displaystyle{\mathbf{F=qvB}}$

Applichiamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}=m\overrightarrow{\mathbf{a}}}}$

L’accelerazione ha la direzione della forza, quindi è perpendicolare alla velocità. Si tratta di un’accelerazione normale

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{v^2}{R}}}$

R è il raggio della traiettoria descritta. Abbiamo dimostrato che è una circonferenza perché il raggio R è costante ( Lo trovi qui )

$\displaystyle{\mathbf{F=qvB=ma=m\frac{v^2}{R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{R=\frac{mv}{qB}}}$

Per calcolare R ci serve la velocità. Per portare l’elettrone da v = 0 fino velocità v la forza del campo elettrico deve compiere un lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=\Delta E_C=\frac{1}{2}\, mv^2}}$

$\displaystyle{\mathbf{L=q V}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, mv^2=qV}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}}}$

Questa velocità la mettiamo nel raggio R

$\displaystyle{\mathbf{R=\frac{mv}{qB}=\frac{m}{qB}\,\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\frac{1}{B}\,\sqrt{\frac{2mV}{q}}=\frac{1}{0,1}\,\sqrt{\frac{2\times 9,1\times 10^{-31}\times 100\times 10^3}{1,6\times 10^{-19}}}=1,06\, cm}}$

Esercizio 2

Una particella di carica q = 1,6×10^-19C avente energia 3200 eV si muove dentro un campo di induzione magnetica B = 0,1 T. Le linee di forza del campo magnetico sono perpendicolari alla sua traiettoria. La particella percorre un’orbita circolare di raggio R = 2 cm. Calcolare la sua massa.

L’energia posseduta dalla particella ci è data in eV, portiamola subito in Joule.

1 eV = 1,6×10^-19J

3200 eV = 5,12×10^-19J

Sulla particella agisce la forza di Lorentz. Ragionando come nell’esercizio precedente