Legge di Joule

Dopo aver studiato la legge di Ohm passiamo alla legge di Joule.

Sappiamo che applicando una differenza di potenziale ai capi di una resistenza R, in essa prende a scorrere corrente.

Il passaggio della corrente I provoca il riscaldamento della corrente. Vogliamo capire come avviene questo fenomeno.

Per far questo studiamo l’energia che possiede una carica q quando percorre la resistenza R

Quando la carica q entra nell’elemento circuitale R ha una sua energia che è in parte cinetica e in parte potenziale.

Energia della carica q nel punto di ingrasso A

$\displaystyle{\mathbf{E_A=U_A+E_{CA}}}$

L’espressione dell’energia potenziale U_Aè

$\displaystyle{\mathbf{U_A=qV_A}}$

Mentre quello dell’energia cinetica è

$\displaystyle{\mathbf{E_{CA}=\frac{1}{2}\, mv_d^2}}$

La velocità della carica è V_d velocità di deriva

$\displaystyle{\mathbf{E_A=qV_A+\frac{1}{2}\, mv_d^2}}$

Dopo un certo numero di urti all’interno della resistenza R, la carica q esce in B.

La velocità in B è sempre V_dè sempre la stessa, è legata al campo elettrico.

Stato energetico della carica in B

$\displaystyle{\mathbf{E_B=qV_B+\frac{1}{2}\, mv_d^2}}$

Tra i punti A e B l’energia cinetica della carica non è cambiata, invece quella potenziale si. Ciò significa che, in totale, c’è stata una variazione di energia totale e questo è dovuto al fatto che la particella ha urtato i nuclei del reticolo del metallo e la resistenza si è scaldata.

Il calore prodotto dagli urti tra elettroni e reticolo può essere valutato tramite la differenza di energia meccanica. Ricordiamo che il calore sviluppato è legato alla differenza di energia.

$\displaystyle{\mathbf{E_A-E_B=\Biggl (qV_A+\frac{1}{2}\, mv_d^2\Biggr )-\Biggl (qV_B+\frac{1}{2}\, mv_d^2\Biggr )=q(V_A-V_B)}}$

Per semplificare lo studio, sino ad ora abbiamo considerato la singola carica, in realtà dobbiamo considerare la quantità di carica dq che fluisce

$\displaystyle{\mathbf{dE=dq(V_A-V_B)}}$

Il riscaldamento della resistenza R viene chiamato effetto Joule e questa è l’energia dissipata per effetto Joule.

Dobbiamo tenere conto del fatto che la corrente passa con continuità e che, quindi, il calore si accumula nel tempo. Possiamo allora calcolare il calore prodotto nell’unità di tempo, ossia la potenza termica.

Potenza dissipata per effetto Joule

$\displaystyle{\mathbf{P=\frac{dE}{dt}}}$

Questo è il calore prodotto nel tempo dt.

Sostituiamo a dE la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{P=\frac{dq}{dt}\, (V_A-V_B)}}$

Il rapporto dq/dt è proprio l’intensità di corrente elettrica è la carica che passa nell’unità di tempo.

$\displaystyle{\mathbf{P=I\, (V_A-V_B)}}$

Se applichiamo la legge di Ohm

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=RI}}$

La potenza dissipata divente

$\displaystyle{\mathbf{P=RI^2}}$

Ecco l’espressione della legge di Joule.

Notare che la corrente I è elevata al quadrato, quindi è un termine positivo, possiamo allora affermare che la potenza P è sempre positiva. Sia che la corrente fluisce da sinistra a destra, sia che fluisce da destra a sinistra, la potenza dissipata è sempre positiva. Comunque sia si ha sempre sviluppo di calore.

Utilizzando i vari modi per scrivere la legge di Ohm si ha

$\displaystyle{\mathbf{P=RI^2=\frac{(V_A-V_B)^2}{R}=I\, (V_A-V_B)}}$

In conclusione possiamo dire che la resistenza R è un dissipatore di energia.