Effetto Hall

L’effetto Hall ha permesso di determinare il segno delle cariche mobili in un metallo tramite misure di corrente e di differenza di potenziale. L’esperimento fu ideato dal fisico Edwin H. Hall nel 1879.

Ricostruiamo l’esperimento.

Esso consiste in una barra metallica di sezione a×d nella quale viene indotta una corrente elettrica. Per far questo la colleghiamo ad una forza elettromotrice (semplicemente una batteria). La corrente che viene a scorrere sarà misurata dall’amperometro. T è un interruttore.

Quando chiudiamo l’interruttore, le cariche iniziano a muoversi a velocità v_d, velocità di deriva.

Supponiamo di non conoscere il segno delle cariche mobili nel metallo. Ci spostiamo prima del 1879 e non sappiamo che esse sono elettroni. Per noi le cariche sono positive e conduciamo l’esperimento con questa convinzione.

Dobbiamo combinare effetti elettrici con effetti magnetici. Produciamo, allora, nella barra, un campo magnetico uniforme di induzione B, come in figura.

Campo magnetico uniforme vuol dire che il vettore induzione magnetica B è lo stesso in tutti i punti.

Abbiamo una carica +q in movimento (per ora consideriamo una sola carica) in un campo magnetico, di conseguenza nasce una forza, la forza di Lorentz.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}_d\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Per sapere la direzione e il verso di questa forza applichiamo la regola della mano destra

Pollice primo vettore (V_d)

Indice secondo vettore (B)

Medio prodotto vettoriale (F_L)

Il vettore induzione elettrica B è entrante nel foglio (o meglio nello schermo).

La forza di Lorentz porta la carica verso la faccia superiore della barra metallica.

La velocità di deriva è perpendicolare al campo magnetico e la carica +q descrive una circonferenza fino ad arrivare alla superficie superiore della barra. Più di lì non va. La carica non può uscire dal metallo. Per estrarla occorre un lavoro detto di estrazione.

Non ci sono effetti di avvolgimento della carica lungo la linea del campo magnetico, non si crea un moto elicoidale come visto nella lezione precedente perchè v è perpendicolare a B.

Di cariche, però, non ne abbiamo una sola, ce ne sono tantissime e tutte vanno a finire sulla faccia superiore.

Quando le cariche arrivano sulla faccia superiore iniziano a generare un campo elettrico. Si tratta del campo elettrico di uno strato piano ed è, quindi, uniforme.

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Il campo elettrico non c’è solo verso l’interno, come in figura, nasce anche verso l’alto. A noi, però, interessa solo quello varso il basso, dentro la barra metallica.

Appena chiudiamo l’interruttore T, inizia la deviazione delle cariche verso l’alto. Questo porta, come conseguenza, ad un transitorio durante il quale non escono cariche dalla barra. Per un tempo, che risulta brevissimo, non scorre corrente e l’amperometro non segna niente.

Nel frattempo, continuano ad arrivare cariche, le quali ora subiscono anche il campo elettrico E che si stà formando e che va aumentando in valore.

Le cariche +q sono sottoposte, oltre che alla forza di Lorentz, anche alla forza elettrica.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_E=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

La forza elettrica nasce perchè si è formato un campo elettrico.

Questa forza è, inizialmente, piuttosto debole, ma comunque in antagonismo con la forza di Lorentz. La forza elettrica riduce l’effetto di quella di Lorentz e, attenuandola, aumenta il raggio delle circonferenze descritte dalle cariche.

$\displaystyle{\mathbf{F_L=\frac{mv^2}{\rho}}}$

Se non lo ricordate tornate alla forza di Lorentz.

Se il raggio va aumentando, le cariche andranno ad impattare sulla superficie superiore un pò più verso destra.

Tutta la faccia superiore si riempie di cariche.

Aumenta E → aumenta F_E

Quando la forza elettrica diventa uguale (e opposta) alla forza di Lorentz, le due forze si compensano. Da questo istante in poi, le altre cariche che arrivano procedono con un moto rettilineo uniforme. (Vanno dritte).

Quando si instaura questa condizione stazionaria scorre corrente.

Quando fluisce corrente vuol dire che forza di Lorentz e forza elettrica sono uguali ed opposte.

$\displaystyle{\mathbf{F_L=F_E}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_L=q\, v_d\, B}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_E=q\, E}}$

Uguagliamo le espressioni dei moduli delle due forze

$\displaystyle{\mathbf{q\, v_d\, B=q\, E}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E=v_d\, B}}$

Il campo elettrico si crea perchè c’è il campo magnetico.

Fermiamoci un attimo per vedere le unità di misura.

E si misura in Volt/metro, la velocità in m/s

B si misura in

$\displaystyle{\mathbf{\frac{volt}{m}\, \frac{s}{m}=\frac{Volt\, s}{m^2}=\frac{Weber}{m^2}}}$

Weber al m² viene chiamato Tesla. Il valore di 1 Tesla è molto alto, si usano di solito i suoi sottomultipli.

Torniamo all’effetto Hall e inseriamo, oltre all’amperometro, anche un voltmetro che misura la differenza di potenziale.

Quello che leggiamo sul voltmetro e una d.d.p. che, per un campo uniforme è

$\displaystyle{\mathbf{\Delta V=E\, d}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\Delta V=(v_d\, B)\, d}}$

Quello che leggiamo sull’amperometro è

$\displaystyle{\mathbf{I=J\, (a\, d)}}$

L’intensità di corrente è la densità di corrente per la sezione. J è legata alla carica, alla velocità di deriva e alla concentrazione n delle cariche.

$\displaystyle{\mathbf{J=n\, q\, v_d}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I=n\, q\, v_d\, (a\, d)}}$

Facciamo il rapporto tra la d.d.p. e la corrente

$\displaystyle{\mathbf{\Delta V=(v_d\, B)\, d}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I=n\, q\, v_d\, (a\, d)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta V}{I}=R_H}}$

R_Hè una resistenza detta resistenza di Hall.

Attenzione, sembrerebbe la legge di Ohm, ma non è così . Questo è un fenomeno completamente diverso. Quella non è una resistenza ohmica, è una resistenza che ha una natura magnetica. Inoltre, nella legge di Ohm la corrente è longitudinale e la differenza di potenziale pure.

Per Ohm la tensione è presa lungo il cammino della corrente.

Nel caso dell’effetto Hall la corrente è longitudinale mentre la d.d.p. che misuriamo è trasversale, guardate la figura di sopra.

Torniamo all’effetto Hall e calcoliamo R_H

$\displaystyle{\mathbf{R_H=\frac{\Delta V}{I}=\frac{v_d\, B\, d}{n\, q\, v_d\, a\, d}=\frac{1}{n\, q}\, \frac{B}{a}}}$

Il rapporto B/a è noto. B lo abbiamo applicato noi e a è una dimensione della barra metallica. Invece 1/nq è incognito. Tramite le misure di i e di d.d.p. possiamo valutare 1/nq.

Quello che ci interessa è che, tramite queste misure viene fuori che il rapporto ΔV/I , ossia R_Hè negativo. Questo significa che nell’espressione della resistenza di Hall c’è un termine negativo. E quale sarà ? E’ q è lui che può essere negativo.

→ Le cariche mobili sono elettroni, sono cariche negative.

Questa è la realtà. Non ci sono cariche positive che si spostano da sinistra a destra, ma cariche negative che vanno da destra a sinistra.

Soltanto con misure di corrente non è possibile stabile il segno delle cariche. Occorrono anche miure di tensione.