Pendolo composto

Non e’ altro che un corpo rigido che oscilla come un pendolo per effetto della forza peso e della presenza di un cardine

Il corpo rigido e’ quello rosso, e’ incernierato, ad esempio ad una parete, nel cardine C. G e’ il baricentro dove applichiamo la forza peso P. Alla forza peso P si contrappone la reazione del cardine. A riposo il corpo si dispone in modo da annullare la prima e la seconda equazione cardinale, quindi non ci sono traslazioni e non ci sono rotazioni. E’ un pendolo in equilibrio. Incliniamo il corpo

Applichiamo la seconda equazione cardinale, quella che ci dice che il momento delle forze esterne fa variare il momento angolare (momento della quantita’ di moto)

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=\frac{db_a}{dt}=\frac{d(I_a\omega)}{dt}=I_a\, \frac{d\omega}{dt}}}$ .

Se il corpo e’ rigido e omogeneo I_a non varia e la porto fuori dalla derivazione.

Sappiamo che ω e’ la velocita’ angolare e pari alla derivata dell’angolo

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{d\theta}{dt}\;\longrightarrow\;\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

Possiamo esprimere il momento come

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=I_a\, \frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

Il momento delle forze esterne produce un’accelerazione angolare e l’angolo θ inizia a variare nel tempo. Le forze esterne presenti sono la forza peso P e la reazione del cardine Rc. La Rc e’ applicata nel cardine quindi non ha braccio, la distanza dall’asse di rotazione e’ nulla.

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=M_P+\underbrace{\textbf{M}_{\textbf{RC}}}_{=0}=M_P=I_a\,\frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

Dobbiamo calcolare M_P

Prolunghiamo la forza peso con la sua linea di azione e troviamo la distanza di questa dall’asse di rotazione, abbiamo cosi’ trovato il braccio d. Il momento della forza peso rispetto all’asse e’ -P b, il meno e’ presente perche’ in quella posizione la P tende a far ruotare il quadro in senso orario.

$\displaystyle{\mathbf{-Pb=I_a\,\frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

Dalla figura si vede che d = CGsinθ

$\displaystyle{\mathbf{-mgCG\sin\theta=I_a\,\frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I_a\,\frac{d^2\theta}{dt^2}+mgCG\sin\theta=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{mgCG}{I_a}\, \sin\theta=0}}$ .

Siamo giunti a qualche cosa di molto simile a quanto trovato per il pendolo semplice

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\,\sin\theta=0}}$ .

In questo caso abbiamo detto che per piccole oscillazioni si puo’ porre

sinθ ≅ θ e abbiamo trasformato l’equazione differenziale non lineare in una lineare

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\,\theta=0}}$ .

e siamo giunti al calcolo del periodo delle piccole oscillazioni

$\displaystyle{\mathbf{T=2\pi\,\sqrt{\frac{L}{g}}}}$ .

Procedendo in maniera analoga, se non incliniamo troppo il corpo possiamo porre sinθ ≅ θ e l’equazione differenziale diventa

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{mgCG}{I_a}\,\theta=0}}$ .

E il periodo delle piccole oscillazioni sara’

$\displaystyle{\mathbf{T=2\pi\,\sqrt{\frac{I_a}{mgCG}}}}$ .

Se L e’ la lunghezza del corpo CG = L/2 e I_a = mL²/3 e’ il momento d’inerzia di una barra che ruota intorno ad un estremo

$\displaystyle{\mathbf{T=2\pi\,\sqrt{\frac{\frac{mL^2}{3}}{mg\frac{L}{2}}}=2\pi\,\sqrt{\frac{2}{3}\,\frac{L}{g}}}}$ .

A parita’ di lunghezza il pendolo composto ha un periodo piu’ breve rispetto ad un pendolo semplice.

Nella prossima lezione vediamo come studiare anche le grandi oscillazioni.

Prossima lezione Grandi oscillazioni