Statica – Leve

Dato un sistema, affinche’ esso sia in equilibrio, si devono annullare la prima e la seconda equazione cerdinale. Ossia deve essere nulla la somma delle forze esterne e la somma dei momenti delle forze esterne.

La prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}_{est}=0}}$

ci dice che non c’e’ traslazione.

La seconda equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{est}=0}}$

ci dice che non c’e’ rotazione.

Per i corpi solidi queste due equazioni sono condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio.

Per un corpo vincolato, ad esempio un quadro inchiodato al muro, basta che sia verificata la seconda equazione cardinale, ossia, per essere in quiete basta che sia nullo il momento della forza esterna rispetto all’asse di rotazione, nel caso del quadro l’asse e’ quello passante per il cardine (chiodo) ed e’ orizzontale.

Dobbiamo distinguere diversi casi

Caso 1 equilibrio stabile

In questo caso il nostro quadro e’ inchiodato nella sua parte alta, il cardine e’ quindi piu’ in alto del baricentro. In questa situazione se il corpo viene spostato leggermente dalla posizione di equilibrio, la coppia forza di gravita’ – reazione, che si presenta, tende a riportarlo all’equilibrio.

Caso 2 equilibrio instabile

se inchiodiamo il quadro nella sua parte bassa, basta un piccolo spostamento per uscire in maniera definitiva dall’equilibrio. Questo e’ il caso in cui il cardine e’ sotto al baricentro.

Caso 3 equilibrio indifferente

il quadro e’ ora inchiodato proprio nel baricentro, comunque lo ruotiamo esso rimane in equilibrio.

Dopo queste premesse doverose passiamo a studiare le leve.

Una leva e’ un sistema formato da due pesi, detti Potenza e Resistenza e da una barra, che possono ruotare attorno ad un asse passante per un punto detto Fulcro.

Leva di primo genere

Le reazioni tra pesi e barra sono forze interne e non le consideriamo. P_A e P_B sono le forze peso , mentre R_F e’ la reazione del fulcro. Per essere in quiete si devono annullare le due equazioni cardinali. Iniziamo dalla prima

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}_{est}=0}}$

La proiettiamo lungo gli assi X e Y

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} asse\,y\, :\, \textbf{R}_F=\textbf{P}_A+\textbf{P}_B \\ asse\, x\, : \textbf{0=0}\end{cases}}}$

La reazione R_F equilibra P_A e P_B , ossia sul fulcro insiste la somma dei pesi.

Seconda equazione cardinale

Per avere l’equilibrio deve essere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{est}=0}}$

I momenti delle forze esterne sono tre, M_F , M_PA , M_PB

$\displaystyle{\mathbf{M_{R_{F}}+M_{P_{A}}+M_{P_{B}}=0}}$

Dato che l’asse di rotazione e’ sul fulcro M_RF = 0

$\displaystyle{\mathbf{M_{P_{A}}+M_{P_{B}}=0}}$

Per calcolare questi momenti ci occorrono le distanze delle forze dall’asse, chiamiamo a la distanza di P_A e chiamiamo b la distanza di P_B. Notiamo che i due momenti delle forze peso sono antagonisti. M_PB da solo provocherebbe una rotazione in senso orario, mentre P_A la provocherebbe in senso antiorario. Prendiamo come positivo il senso antiorario (ricordiamo che e’ una convenzione)

M_PA = P_A a

M_PB = – P_B b

P_A a – P_B b = 0 ⇒ P_A a = P_B b

$\displaystyle{\mathbf{\frac{P_B}{P_A}\, =\, \frac{a}{b}}}$

Questo rapporto e’ detto guadagno meccanico GM

$\displaystyle{\mathbf{GM=\frac{P_B}{P_A}}}$

GM non e’ altro che il rapporto tra carico e forza applicata. Dato che noi vogliamo applicare una piccola forza per sollevare un peso grande, dovra’ essere GM > 1. Allora se a > b si ha guadagno meccanico e la leva e’ detta vantaggiosa. Se GM < 1 la leva e’ svantaggiosa.

Leva di secondo genere

Questa volta il fulcro e’ a sinistra e potenza e resistenza sono dalla stessa parte. Ovviamente la potenza e’ una forza F_A applicata verso l’alto.

Prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}_{est}=0}}$

La proiettiamo lungo X e Y

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} asse\,y\, :\, \textbf{R}_F=\textbf{P}_B-\textbf{F}_A \\ asse\, x\, : \textbf{0=0}\end{cases}}}$

Il fulcro e’ aiutato da F_A

Seconda equazione cardinale

M^est = 0

$\displaystyle{\mathbf{M_{R_{F}}^{est}+M_{F_{A}}^{est}+M_{P_{B}}^{est}=0}}$

Il momento di R_F sappiamo essere nullo

$\displaystyle{\mathbf{M_{F_{A}}^{est}+M_{P_{B}}^{est}=0}}$

$\displaystyle{\mathbf{F_A\cdot a-P_B\cdot b=0\;\longrightarrow\; GM=\frac{P_B}{F_A}=\frac{a}{b}}}$

Il risultato e’ uguale a quello di prima, pero’ ora, dato che e’ sempre a > b si ha che GM > 1 sempre. La leva e’ vantaggiosa. Questo e’ il caso ad esempio della carriola.

Leva di terzo genere

In questo caso la F_A deve essere grande, maggiore della resistenza. La leva e’ svantaggiosa. Per l’equilibrio, la prima equazione cardinale ci dice che le forze devono compensarsi, allora se F_A > R_F vuol dire che il fulcro avra’ la reazione verso il basso. La prima equazione cardinale proiettata lungo gli assi X e Y diventa

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} asse\,y\, :\, \textbf{R}_F=\textbf{F}_A-\textbf{P}_B \\ asse\, x\, : \textbf{0=0}\end{cases}}}$

Dalla seconda equazione cardinale ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{F_A\cdot a-P_B\cdot b=0\;\longrightarrow\;GM=\frac{P_B}{F_A}=\frac{a}{b}}}$

Questa volta a < b e GM < 1 la leva e’ svantaggiosa. Un esempio e’ la molla del camino, ci rimettiamo come leva, pero’ ci permette di non scottarci.

Vediamo un classico esercizio di statica

I like physics

Statica – Leve

Prossima lezione Statica – La scala