Legge di Archimede

Per studiare la legge di Archimede consideriamo un volume di acqua

La linea tratteggiata è il contorno del nostro volume di acqua. Sappiamo che le forze di pressione non sono omogenee perchè la pressione è maggiore in profondità (Stevino).

Dato che siamo in condizioni di equilibrio, allora la forza peso applicata nel baricentro di quel volume è compensata da tutte quelle forze di superficie. Questo vuol dire che la somma di tutte le forze superficiali deve dare una forza pari al peso dell’acqua, però diretta verso l’alto.

Questa forza è la spinta di Archimede che è proprio il peso dell’acqua ma diretta verso l’alto.

Sostituiamo ora al volume di acqua un solido di stessa superficie

Il solido ha la stessa forma dell’acqua di prima. Le forze di superficie non sanno cosa c’è dentro al volume, esse dipendono dalla superficie che è rimasta uguale. Queste forze produrranno la spinta di prima, eguaglieranno la stessa m g dove m è la massa dell’acqua, ossia la parte di acqua che è stata tolta per far posto al solido.

Calcoliamo la spinta di Archimede

Prendiamo inconsiderazione un volume di acqua in acqua. S rappresenta le superfici di base e h l’altezza.

Dato che la spinta di Archimede F_A è uguale e contraria al peso del volume di acqua avremo

F_A = P₂ S – P₁ S = (P₂ – P₁) S

Per la legge di Stevino

P₂ – P₁ = ρ g h

F_A = ρ g h S

dove h S è il volume

F_A = ρ V g

Il prodotto ρ V è la massa del liquido.

Poniamo ora un solido in acqua. Se non c’è equilibrio cosa succede ? Il corpo va su o va giù ?

La spinta di Archimede _FA, essendo l’equilibrante del peso del fluido spostato, è applicata nel baricentro del fluido spostato che in questo caso coincide con il baricentro del corpo dove è applicata anche la forza peso F_G

$\displaystyle{\mathbf{F_G=\underbrace{m}_{corpo}\,g= \underbrace{\rho}_{corpo}\, v\, g}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_A=\underbrace{m}_{fluido}\,g= \underbrace{\rho}_{fluido}\, v\, g}}$

Scriviamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{F_G-F_A=m\, a}}$

Sostituiamo quanto trovato per le forze

$\displaystyle{\mathbf{\underbrace{\rho}_{corpo}\, v\, g-\underbrace{\rho}_{fluido}\, v\, g=\underbrace{\rho}_{corpo}\, v\, a}}$

Al posto del prodotto m a si è posto ρ_corpo v a perchè devo usare la massa del corpo che deve accelerare.

Ricaviamo l’accelerazione dopo aver tolto V che è comune a tutti

$\displaystyle{\mathbf{a=g\, \frac{\rho_c-\rho_f}{\rho_c}}}$

Da questa vediamo che l’accelerazione è di caduta se ρ_c – ρ_f > 0 ( vuol dire che a ha lo stesso segno di g ) è invece rivolta verso l’alto se ρ_c – ρ_f < 0

Il segno dell’accelerazione è dato dal segno della differenza tra le densità.

ρ_c = ρ_f (densità del corpo = densità del liquido) il corpo è lì fermo

ρ_c > ρ_f moto in discesa

ρ_c < ρ_fmoto in salita

E’ tutto legato alla differenza tra le densità indipendentemente dalla forma e dal volume.

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