Quantita’ di moto di un sistema di punti

Studiamo la quantità di moto di un sistema di punti.

Consideriamo un sistema di N punti

La quantita’ di moto del sistema e’ pari alla somma delle quantita’ di moto dei singoli punti.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}_{sis}=\overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_1+\cdots +\overrightarrow{p}_N=m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2+\cdots +m_N\overrightarrow{\textbf{v}}_N=\sum_{j=1}^{N}m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

Abbiamo definito la velocita’ del centro di massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_c=\frac{1}{m_{tot}}\sum_{j=1}^{N}m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

Da questa ricaviamo la sommatoria delle m_j v_j

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{j=1}^{N}m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j=\overrightarrow{\textbf{v}}_c\cdot m_{tot}}}$ .

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}=\sum_{j=1}^{N}m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j=\overrightarrow{\textbf{v}}_c\cdot m_{tot}=\overrightarrow{\textbf{p}}_c}}$ .

La quantita’ di moto di un sistema di punti e’ pari alla quantita’ di moto del centro di massa. Il centro di massa e’ un punto materiale con la sua massa e la sua velocita’, quindi anche con la sua quantita’ di moto.

Riprendiamo la prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=m_{tot}\overrightarrow{\textbf{a}}_c}}$ .

Tenendo conto che l’accelerazione e’ la derivata della velocita’ nel tempo, possiamo scriverla

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=m_{tot}\frac{d\overrightarrow{\textbf{v}}_c}{dt}}}$ .

Dato che la massa totale e’ costante, la posso portare dentro la derivata

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{dm_{tot}\overrightarrow{\textbf{v}}_c}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}_c}{dt}}}$ .

Le forze esterne producono una variazione nel tempo della quantita’ di moto del sistema. A questa conclusione eravamo gia’ arrivati nel caso del singolo punto materiale. La possiamo anche scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}}{dt}\hspace{2cm}1^a\;equazione\;cardinale}}$ .

Vediamo una coseguenza di quanto trovato

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}}{dt}\hspace{1cm}\Longrightarrow \hspace{1cm}\overrightarrow{F}_{tot}^{est}dt=d\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}}}$ .

Integriamo ambo i membri

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}=\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}^{est}\,dt=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}=\overrightarrow{\textbf{p}}_2-\overrightarrow{\textbf{p}}_1}}$ .

Questo e’ il teorema dell’impulso e della quantita’ di moto

– Solo l’impulso delle forze esterne modifica la quantita’ di moto del sistema.

Se le forze esterne non hanno impulso si ha

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_2-\overrightarrow{\textbf{p}}_1=0\hspace{0,6cm}\Longrightarrow \overrightarrow{\textbf{p}}_2=\overrightarrow{\textbf{p}}_1}}$ .

Questo vuol dire che si conserva la quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{Se\;\overrightarrow{I}^{est}=0\hspace{0,5cm}\Longrightarrow \Delta\overrightarrow{\textbf{p}}=0\hspace{0,5cm}\Longrightarrow \overrightarrow{\textbf{p}}=cost}}$ .

L’impulso e’ nullo quando non ci sono le forze esterne oppure se Δt → 0.

Attenzione, dobbiamo fare un’osservazione molto importante. L’equazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

E’ un’equazione vettoriale che puo’ quindi essere proiettata lungo gli assi. Se la proiezione lungo un asse risulta uguale a zero vuol dire che si conserva la quantita’ di moto lungo quell’asse. Questo e’ importatissimo per gli esercizi.

Vediamo una serie di esempi per capire come affrontare gli esercizi

Iniziamo dal classico esempio del cannone che spara un proiettile

Abbiamo un cannone di massa M_A con all’interno un proiettile di massa m_B. Quando il cannone spara da’ una spinta al proiettile, questa spinta e’ l’impulso che riceve il proiettile dal cannone. Lo chiamiamo I_BA . A questo impulso, corrisponde, per il terzo principio della dinamica, un controimpulso che riceve il cannone dal proiettile, questo lo chiamiamo I_AB , che e’ uguale e contrario.

Distinguiamo ora tra forze esterne e forze interne. Le forze esterne presenti sono la forza peso e la reazione vincolare

P e Rn hanno risultante nulla quindi da loro non arriva nessun impulso.

I_AB e I_BA provengono da forze interne

Sono forze che intervengono tra cannone e proiettile, sono impulsi interni.

Il proiettile parte verso destra e il cannone retrocede. Indichiamo con V_B la velocita’ del proiettile e con V_A quella del cannone, detta velocita’ di rinculo.

$\displaystyle{\mathbf{Se\;\overrightarrow{I}^{est}=0\hspace{0,6cm}\Longrightarrow \Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}=0\hspace{0,6cm}\Longrightarrow\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}}}$ .

Siamo proprio in questo caso visto che le forze esterne P e Rn hanno risultante nulla. Dobbiamo valutare le quantita’ di moto prima e dopo il lancio.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=0}}$ .

Perche’ cannone e proiettile sono fermi.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}=M_A\overrightarrow{\textbf{v}}_A+m_B\overrightarrow{\textbf{v}}_B}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}\hspace{0,5cm}\Longrightarrow M_A\overrightarrow{\textbf{v}}_A+m_B\overrightarrow{\textbf{v}}_B=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_A=-\left (\frac{m_B}{M_A}\right )\overrightarrow{\textbf{v}}_B}}$ .

Da cui vediamo che V_A e V_B sono opposte, inoltre V_A < V_B

Se ora incliniamo la bocca del cannone

Le velocita’ V_A e V_B non sono piu’ nella stessa direzione.

La quantita’ di moto prima e’ sempre pari a zero.

La quantita’ di moto dopo il lancio del proiettile non potra’ mai essere nulla perche’ le velocita’ non sono collineari, non stanno sulla stessa direzione. La quantita’ di moto non si conserva.

Il terreno compensa l’impulso con un controimpulso I_Rn che e’ un impulso della forza esterna

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}=\overrightarrow{I}_{Rn}\neq 0}}$ .

La quantita’ di moto non si conserva. Attenzione, potrebbe conservarsi la quantita’ di moto lungo un asse. Proiettiamo l’ultima equazione lungo l’asse x

$\displaystyle{\mathbf{I_x^{est}=0}}$ .

Questo perche’ I_Rn scompare, non c’e’ lungo x. Allora si conserva la quantita’ di moto lungo l’asse x

$\displaystyle{\mathbf{\Delta p_x=0\hspace{0,5cm}\Longrightarrow p_{xprima}=p_{xdopo}}}$ .

p_xprima = 0 ; p_xdopo = M_A V_A,x + m_B V_B,x

M_A V_A,x + m_B V_B,x = 0

$\displaystyle{\mathbf{V_{A,x}=-\left (\frac{m_b}{M_A}\right )V_{b,x}}}$

Nella prossima lezione proseguiamo con altri esempi sul moto del centro di massa e sulla conservazione della quantita’ di moto.

I like physics

Quantita’ di moto di un sistema di punti

Prossima lezione Esempi c.d.m. e conservazione della quantita’ di moto