Azioni su un dipolo elettrico

Andiamo avanti con lo studio delle azioni su un dipolo elettrico, in particolare vogliamo studiare le forze e i momenti che si sviluppano su un dipolo immerso in un campo elettrico esterno.

Riassumiamo quanto visto (vedi Energia elettrostatica e momento di un dipolo)

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-pE\cos\theta =-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\nabla U_{el}=\nabla (\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$

Abbiamo detto che il dipolo è un sistema rigido, per questi sistemi ci sono due equazioni cardinali, di cui la prima riguarda le forze e la seconda i momenti. La prima ce l’abbiamo, è quella scritta sopra. Dobbiamo studiare il momento della forza.

Supponiamo che il nostro dipolo sia in un campo elettrico E uniforme. In tal caso le linee di forza, di E, che insistono su -q sono le stesse di +q. (Dato che δ, distanza delle due cariche, è piccolo, questa approssimazione è verosimile).

Vediamo le forze che agiscono sulle due cariche.

Sulla carica +q agisce la forza

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_A=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Sulla carica -q

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_B=-q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

F_Ae E sono concordi, mentre F_Bha verso opposto.

Dato che le cariche sono uguali in modulo e il campo E è uniforme, le due forze risultano uguali e opposte. Esse costituiscono una coppia di forze che crea, quindi una rotazione. Ecco spiegato perchè il dipolo ruota.

Calcoliamone allora, il momento rispetto ad un polo O.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=\overrightarrow{\mathbf{OA}}\times \overrightarrow{\mathbf{F}}_A+\overrightarrow{\mathbf{OB}}\times \overrightarrow{\mathbf{F}}_B}}$

Sostituamo alle due forze le loro espressioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=\overrightarrow{\mathbf{OA}}\times q\overrightarrow{\mathbf{E}}-\overrightarrow{\mathbf{OB}}\times q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

In questa equazione possiamo mettere in evidenza q ed E, però E va messo in evidenza a destra perchè è a destra nel prodotto vettoriale.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=q(\overrightarrow{\mathbf{OA}}-\overrightarrow{\mathbf{OB}})\times \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Se ricordate la geometria

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{OA}}-\overrightarrow{\mathbf{OB}}=\overrightarrow{\mathbf{BA}}}}$

Sostituiamo nel momento

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=q(\overrightarrow{\mathbf{BA}})\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Ma la distanza BA è δ, distanza tra le cariche e qδ = p (ricordate ? altrimenti tornate alla lezione precedente)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=\overrightarrow{\mathbf{p}}\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Riassumendo

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}_o=\overrightarrow{\mathbf{p}}\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Il prodotto scalare tra P ed E ci da un’energia, il prodotto vettoriale il momento.

Facciamo ora un esempio di calcolo della forza nel caso di un campo elettrico non uniforme. Prendiamo quello generato da un filo infinito uniformemente carico, con densità lineare di carica λ.

Il filo, con distribuzione di carica +λ, genera un campo E

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\lambda }{2\pi\epsilon_o\, r}}}$

il campo E non è uniforme perchè diminuisce all’aumentare della distanza dal filo.

In questo campo, non uniforme mettiamo il nostro dipolo. Su di esso vengono ad agire delle forze. La carica -q è attratta dal filo, mentre la +q è respinta.

Introduciamo un asse r radiale

Il dipolo, come coordinata, si trova nel punto r, lì c’è il suo centro di massa.

Forza che agisce sul dipolo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\nabla U_{el}=\nabla (\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$

Dove il campo elettrico E è quello presente al centro del dipolo. Dato che p ed E sono collineari, il loro prodotto scalare è massimo e vale pE

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla (pE)}}$

Sostituiamo ad E il campo generato dal filo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla \Biggl (\frac{p\lambda}{2\pi\epsilon_o\, r}\Biggr )}}$

Dobbiamo svolgere questo gradiente. Ricordate che data una funzione scalare A

$\displaystyle{\mathbf{gradA=\nabla A=\hat{i}\,\frac{\partial A}{\partial x}+\hat{j}\,\frac{\partial A}{\partial y}+\hat{k}\,\frac{\partial A}{\partial z}}}$

Il gradiente fa le derivate parziali alle sue coordinate. Nel nostro caso abbiamo solo r che non è costante, quindi l’unica derivata è in r. Possiamo anche scriverla come derivata totale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=\frac{d}{dr}\,\Biggl (\frac{p\lambda}{2\pi\epsilon_o\, r}\Biggr )\, vers(\overrightarrow{\mathbf{r}})=-\frac{p\lambda}{2\pi\epsilon_o\, r^2}\, vers(\overrightarrow{\mathbf{r}})}}$

Questa è la forza che agisce su un dipolo, la forza è radiale (va come r). Attenzione, c’è un segno meno che ci dice che la forza è attrattiva, va verso sinistra.

Perchè succede questo ?

La carica -q subisce una forza attrattiva verso la distribuzione di carica +λ, mentre la carica +q la subisce repulsiva. Le due forze non sono uguali perchè la carica -q è più vicina al filo e la forza su di essa è maggiore di quella che agisce su +q. Alla fine si avrà la situazione

Questo avviene perchè il campo elettrico E non è uniforme.

Se non ci ricordiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla (\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$

possiamo utilizzare un altro metodo studiando separatamente le forze che agiscono sulle cariche.

Questa volta dobbiamo tenere conto della posizione delle cariche, non più di quella del centro di massa.

+q si trova i r-δ/2 e -q in r+δ/2

δ è la distanza delle due cariche.

Scriviamo la forza che agisce su +q

$\displaystyle{\mathbf{F_A=qE_A=\cfrac{q\lambda}{2\pi\epsilon_o\Bigl (r+\cfrac{\delta}{2}\Bigr )}}}$

r+δ/2 è la distanza di +q dal filo carico.

Scriviamo anche la forza che agisce su -q

$\displaystyle{\mathbf{F_B=qE_B=\cfrac{q\lambda}{2\pi\epsilon_o\Bigl (r-\cfrac{\delta}{2}\Bigr )}}}$

r-δ/2 è la distanza di -q dal filo carico.

Le due forze non sono uguali.

Azione totale sul dipolo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{F_{tot}=F_A-F_B=\frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_o}\,\Biggl (\,\cfrac{1}{r+\cfrac{\delta}{2}}\, - \, \cfrac{1}{r-\cfrac{\delta}{2}}\,\,\Biggr )}}$

Sistemiamo le frazioni tra parentesi

$\displaystyle{\mathbf{F_{tot}=\frac{q\lambda}{2\pi\epsilon_o}\, \Biggl(\cfrac{-\delta}{r^2-\Bigl (\cfrac{\delta}{2}\Bigr )^2}\Biggr )}}$

δ/2 è una quantità molto piccola rispetto alla distanza r dal filo (figuriamoci al quadrato), possiamo trascurare δ/2

$\displaystyle{\mathbf{F_{tot}=-\frac{q\lambda\delta}{2\pi\epsilon_o\, r^2}=-\frac{p\lambda}{2\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

E’ un metodo un pò più lungo, ma molto semplice.

Abbiamo finito con le azioni su un dipolo elettrico.