Carica e scarica del condensatore

Per studiare la carica e scarica del condensatore ci riferiamo al seguente circuito che contiene un generatore f, una resistenza R ed una capacità C.

Il condensatore è un elemento che accumula cariche, questo vuol dire che, quando è presente, la corrente non fluisce più con continuità. Non siamo in regime stazionario.

Il punto T è quello a potenziale minimo.

Come prima cosa c’è da capire come può circolare corrente (fino a che il condensatore non si è caricato) in un circuito nel quale è presente un tratto dove non ci sono conduttori. Parliamo della zona compresa tra le armature del condensatore dove, non solo non ci sono conduttori, ma è presente un dielettrico.

Dobbiamo aprire una parentesi.

Corrente di spostamento

Fino ad ora abbiamo studiato la la densità e intensità di corrente elettrica nei conduttori, detta corrente di conduzione. Esiste anche un altro tipo di corrente (e non solo) detta di spostamento. Per ora la introduciamo, più avanti potremo studiarla in maniera più approfondita.

Maxwell trovò che un campo elettrico variabile nel tempo ha effetti simili a quelli che hanno le correnti di conduzione.

Insieme ad un campo elettrico variabile va considerata una corrente di spostamento, la cui densità è

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\partial (\epsilon_o\overrightarrow{E})}{\partial t}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}}}$

Essa esiste solo nei casi non stazionari.

La densità di corrente di corrente totale nel nostro circuito è allora formata da due parti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{J}+\frac{\partial (\epsilon_o\overrightarrow{E})}{\partial t}}}$

J è predominante nel caso di conduttori mentre è trascurabile quella di spostamento. Negli isolanti J è trascurabile e la corrente è solo di spostamento.

Cerchiamo di capire questo concetto tramite un esempio.

Partiamo da un condensatore già carico con carica Q. Colleghiamo le armature del condensatore tramite un filo conduttore. (Non fatelo nella realtà, sperimentereste la corrente di cortocircuito, questo è un esempio reso il più semplice possibile)

Attraverso il filo passa una corrente di conduzione

$\displaystyle{\mathbf{I=- \, \frac{dQ}{dt}}}$

Il segno meno è presente perchè la carica nel tempo va diminuendo, dQ è negativo. Il condensatore stà perdendo la sua carica nel tempo.

Tra le armature del condensatore questa corrente non c’è. Però, dato che il campo elettrico al suo interno varia nel tempo (visto che varia Q)

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{\epsilon}=\frac{Q}{\epsilon S}}}$

Se Q diminuisce nel tempo, lo fa anche E.

Lo spostamento elettrico D è legato al campo E

$\displaystyle{\mathbf{D=\epsilon E=\epsilon \,\frac{Q}{\epsilon S}=\frac{Q}{S}}}$

La densità della corrente di spostamento è

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\partial (\epsilon E)}{\partial t}=\frac{\partial D}{\partial t}}}$

Sostituendo a D la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\partial (\epsilon E)}{\partial t}=\cfrac{d\Biggl (\cfrac{Q}{S}\Biggr )}{dt}=\frac{1}{S}\, \frac{dQ}{dt}}}$

S è la superficie delle armature.

L’intensità della corrente è allora

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dQ}{dt}}}$

Anche questa è negativa perchè diminuisce nel tempo, ha la stessa intensità della corrente di conduzione.

Abbiamo introdotto la corrente di spostamento per spiegare come può scorrere corrente in un circuito dove non c’è la continuità dei conduttori.

In regime non stazionario non è necessaria la continuità dei conduttori affinchè circoli una corrente.

Chiusa parentesi. Torniamo al nostro circuito.

In esso scorre la corrente

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{dq}{dt}}}$

La carica dq è anche quella che si va ad accumulare sulle armature del condensatore che si stà caricando.

Applichiamo la legge di Ohm al ramo resistivo (partiamo dalla resistenza e facciamo il giro)

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R\, I}}$

Al ramo contenente il condensatore non possiamo applicarla perchè non è un elemento ohmico, per esso possiamo scrivere ( ricordate che C=q/V ? )

$\displaystyle{\mathbf{V_B-V_T=\frac{q}{C}}}$

Infine c’è il generatore

$\displaystyle{\mathbf{V_T-V_A=-f}}$

(f = V_A– V_T)

Sommiamo ora le tre relazioni

$\displaystyle{\mathbf{0=R\, I+\, \frac{q}{C}\, -f}}$

La corrente che circola è dq/dt

$\displaystyle{\mathbf{f=R\,\frac{dq}{dt}\, + \, \frac{q}{C}}}$

Dato che q non è costante questa è una equazione differenziale. Scriviamola meglio.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac{f}{R}}}$

Purtroppo è proprio un’equazione differenziale, in particolare è del primo ordine in q, a coefficienti costanti e non omogenea.

La soluzione generale si compone di due parti (abbiamo già affrontato questo problema nello studio delle oscillazioni della molla)

$\displaystyle{\mathbf{q=q_{omo}+q_{part}}}$

Iniziamo a cercare l’integrale particolare supponendolo costante. Lo mettiamo nell’equazione e vediamo l’effetto che fa.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dq_{part}}{dt}+\frac{q_{part}}{RC}=\frac{f}{R}}}$

Se q_part= cost. l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{\frac{q_{part}}{RC}=\frac{f}{R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{q_{part}=f\, C}}$

Per trovare la soluzione q_omodobbiamo renderla omogenea annullando il termine noto.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=0}}$

Sappiamo ( lo sapete ?) che la soluzione è del tipo

$\displaystyle{\mathbf{q_{omo}=Ae^{\alpha\, t}}}$

Per ricavare α scriviamo l’equazione caratteristica

$\displaystyle{\mathbf{\alpha +\frac{1}{RC}=0\, \Longrightarrow\, \alpha =-\,\frac{1}{RC}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{q_{omo}=Ae^{-\, \frac{t}{RC}}}}$

La soluzione dell’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=q_{omo}+q_{part}=Ae^{-\,\frac{t}{RC}}+f \, C}}$

Ci rimane da trovare A dalle condizioni iniziali. Se per t = 0 il condensatore aveva già una carica iniziale q_o, ponendo T = 0 nell’equazione si ha

$\displaystyle{\mathbf{q_0=Ae^{-\,\frac{0}{RC}}\, +\, f \, C=A+f\, C\,\Longrightarrow\, A=q_0 -f\, C}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=(q_0 -f\, C)\, Ae^{-\,\frac{t}{RC}}+f\, C}}$

La scriviamo in un modo leggermente diverso.

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=q_0\, e^{-\,\frac{t}{RC}}\, +f\, C\Bigl (1-e^{-\,\frac{t}{RC}}\Bigr )}}$

Se la carica iniziale è nulla, q₀= 0

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=f\, C\Bigl (1-e^{-\,\frac{t}{RC}}\Bigr )}}$

Disegniamo il grafico di questa funzione

La retta q = f C è asintoto orizzontale

La carica parte da zero e tende al valore f C per t → ∞ . Il modo con cui arriva al valore f C dipende dal prodotto RC. Questo prodotto è un tempo che indichiamo con τ.

$\displaystyle{\mathbf{\tau = RC}}$

Se poniamo t = τ in q(t) si ha

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=f\, C\Bigl (1-e^{-\,\frac{t}{\tau}}\Bigr )=f\, C\Bigl (1-\frac{1}{e}\Bigr )\simeq 0,63\, f\, C}}$

Dopo un tempo t = τ la carica è arrivata al livello 0,63 della carica finale q_f, ossia il 63% della carica.

τ viene chiamato tempo di carica.

Trascorso il tempo τ il condensatore viene considerato sufficientemente carico.

Dobbiamo vedere anche cosa succede alla corrente durante la carica del condensatore.

$\displaystyle{\mathbf{i=\frac{dq(t)}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{q(t)=f\, C\,\Bigl (1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigr )}}$

Per avere la corrente dobbiamo fare la derivata di q rispetto al tempo.

$\displaystyle{\mathbf{i=\frac{f}{R}\, e^{-\frac{t}{\tau}}}}$

La corrente ha un andamento che decresce nel tempo.

Il valore da cui parte la corrente è f/R.

Per t = τ la corrente si è ridotta del 37%. In pratica è il complemento della q(t).

I due grafici, quello della q(t) e quello della i(t) sono correlati dato che i(t) è la derivata di q(t).

Vogliamo capire, fisicamente, perchè la carica va a zero dopo un tempo infinito (per t → ∞). Se la carica cresce nel tempo vuol dire che sul condensatore si va ad accumulare carica, di conseguenza il potenziale del condensatore va aumentando nel tempo. Alla fine tenderà ad una d.d.p. uguale a quella della batteria (andrebbe tolta la caduta sulla resistenza). In pratica più il condensatore si carica e più è difficile portare altra carica su di lui. Alla fine, quando la sua d.d.p. è simile a quella della batteria, il flusso di corrente si azzera.

Se non c’è più corrente il condensatore non può caricarsi ulteriormente e il processo di carica si ferma.

Vediamo ora l’andamento della d.d.p. sulle armature.

$\displaystyle{\mathbf{\Delta V_C=\frac{q(t)}{C}=f\, \Bigl (1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigr )}}$

La forma della curva è la stessa della q(t), ma è diverso il valore finale al quale tende, che ora è f

Quando la differenza di potenziale sulle armature arriva al valore f del generatore non scorre più corrente.

Rimane da vedere l’energia immagazzinata nel condensatore.

$\displaystyle{\mathbf{U_C=\frac{1}{2}\,\frac{q^2}{C}=\frac{f^2\, C}{2}\,\Bigl (1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigr )^2}}$

Se nel tempo aumenta la carica, aumenta anche l’energia immagazzinata.

L’energia, invece, spesa dalla batteria per portare la carica sul condensatore, non è la stessa di quella immagazzinata dal C perchè in mezzo c’è una resistenza che, scaldandosi, si prende energia.

$\displaystyle{\mathbf{E_{Batt}=f\, q=f^2 C\Bigl (1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Bigr )}}$

La differenza tra l’energia erogata dalla batteria e quella immagazzinata nel condensatore va in effetto di Joule nella resistenza.

Riportiamo i livelli asintotici, ossia i valori delle varie grandezze per t → ∞ (quando l’esponenziale sparisce.

Livelli asintotici

$\displaystyle{\mathbf{q=f\, C}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\Delta V_C=f}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_C=\frac{f^2\, C}{2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{Batt}=f^2\, C}}$

Se guardate bene gli ultimi due livelli asintotici noterete che se la batteria fornisce 10 J sul condensatore troviamo 5 J. Questo vuol dire che sulla resistenza si perde la metà dell’energia.

Rimane un piccolo sforzo da fare per vedere la scarica del condensatore

Partiamo da una carica q gia presente sul condensatore

La carica q, nel tempo va diminuendo.

$\displaystyle{\mathbf{i=-\,\frac{dq}{dt}}}$

Il segno meno è presente perchè la carica ora va nel verso opposto, inoltre, la carica q è quella che abbandona l’armatura del condensatore. La corrente che scorre porta ad una diminuzione della carica.

Nel tempo la carica tende a zero

Negli esercizi dovete fare attenzione ad una cosa : se, per un circuito, vi si dice “dopo un tempo infinito” oppure “dopo un tempo sufficientemente lungo” vuol dire che i condensatori sono carichi, quindi, nei rami in cui sono presenti, non scorre corrente.

Abbiamo finalmente finito con la carica e scarica del condensatore.