Piano inclinato (Liceo)

Il piano inclinato è stato introdotto da Galileo per poter osservare la caduta dei gravi, infatti il piano inclinato rallenta la caduta. L’accelerazione di gravità si abbassa anche di molto in dipendenza dell’angolo di inclinazione del piano.

La massa, in giallo, è posta su un piano inclinato, il cui angolo di inclinazione è α. La reazione del vincolo P_⊥ (o anche chiamata R_n) è sempre ortogonale al vincolo (il piano inclinato). La forza peso P è sempre diretta verso il basso (verso il centro della terra).

Ora che non siamo più su di un piano dritto le forze P e P_⊥ non si possono più compensare tra di loro perchè non sono parallele. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{P}}+\overrightarrow{\mathbf{P}}_\perp\neq 0}}$

Per avere la risultante delle due forze dobbiamo usare la regola del parallelogramma.

La risultante è rappresentata dalla freccia in rosso, essa è una forza che fa scivolare il corpo verso il basso. Esso acquista un’accelerazione a che è diversa da g. Questa accelerazione è comunque costante e il moto che ne risulta è uniformemente accelerato.

Vogliamo calcolare questa accelerazione. Per farlo dobbiamo scomporre le forze lungo gli assi che prendiamo come riferimento. Questa volta non ci conviene scegliere il solito riferimento x y perchè questi assi non seguono il moto e lo studio sarebbe più complesso. Prendiamo due assi di cui uno, che chiamiamo t, segue il moto e l’altro è ad esso perpendicolare, asse n.

Cerchiamo di capire la figura. Il sistema di assi t e n è il nostro nuovo sistema di riferimento, scelto per convenienza. I due angoli α sono uguali dato che P è otogonale alla base del triangolo e P_⊥è ortogonale all’ipotenusa.

Pcosα è la proiezione di P lungo la direzione n, P_⊥è tutta lungo n, quindi la sua proiezione coincide con se stessa. Psenα è la priezione di P lungo la direzione t, mentre P_⊥ non ha proiezione lungo t visto che è perpendicolare a t.

Applichiamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{P}}+\overrightarrow{\mathbf{P}}_\perp=m\, \overrightarrow{\mathbf{a}}}}$

Le due forze che agiscono (non stiamo considerando l’attrito) imprimono l’accelerazione a alla massa m (quella gialla) ed essa scivola lungo il piano inclinato.

Questa equazione tra vettori la scomponiamo lungo gli assi t e n ed otteniamo due equazioni non più vettoriali, ma scalari.

Asse n

$\displaystyle{\mathbf{P_{\perp}-P\cos\alpha=0}}$

E’ uguale a zero e non a m×a perchè lungo l’asse n non c’è movimento. P è negativa perchè ha il verso opposto all’asse n.

Asse t

$\displaystyle{\mathbf{P\sin\alpha =ma}}$

Non compare la P_⊥ dato che non ha proiezione lungo l’asse t.

Dalla prima ricaviamo che

$\displaystyle{\mathbf{P_{\perp}=P\cos\alpha}}$

P_⊥ equilibra la componente della forza peso lungo n, ossia Pcosα

Sostituiamo nelle due equazioni l’espressione della forza peso P = m g

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\mathbf{P_{\perp}=mg\cos\alpha}\\\mathbf{mg\sin\alpha=ma}\end{cases}}}$

Nella seconda equazione possiamo semplificare la massa m

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\mathbf{P_{\perp}=mg\cos\alpha}\\\mathbf{g\sin\alpha=a}\end{cases}}}$

g senα = a

ci dice che lo scivolamento è indipendente dalla massa e che avviene con un’accelerazione mitigata dall’inclinazione del piano. Il moto è uniformemente accelerato perchè g è costante e senα pure.

Se ora vogliamo studiarci il moto lungo il piano inclinato per sapere il tempo impiegato ad arrivare alla base e la velocità con cui arriva, dobbiamo ricorrere alla cinematica.

La massa è inizialmente ferma ad altezza h. Inizia a scendere con moto uniformemente accelerato lungo il piano L. L è la lunghezza del piano inclinato.

Partiamo da quanto trovato prima

a = g senα

e applichiamo le formule del moto accelerato tenendo conto che la massa è inizialmente ferma

$\displaystyle{\mathbf{v=at}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{s=\frac{1}{2}at^2}}$

Il tempo impiegato per arrivare alla base lo ricaviamo dalla seconda equazione ponendo in essa s = L

$\displaystyle{\mathbf{t=\sqrt{\frac{2L}{a}}}}$

Questo tempo lo mettiamo in v = a t e abbiamo la velocità finale

$\displaystyle{\mathbf{v_{fin}=a\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{2La}=\sqrt{2Lg\sin\alpha}}}$

Se avete dimestichezza con la trigonometria sapete che

$\displaystyle{\mathbf{L=\frac{h}{\sin\alpha}}}$

Da cui

$\displaystyle{\mathbf{v_{fin}=\sqrt{2\frac{h}{\sin\alpha}g\sin\alpha}=\sqrt{2gh}}}$

Questa velocità è la stessa trovata nel caso della caduta libera, senza il piano inclinato. in questa equazione non compare l’angolo di inclinazione, quindi la velocità con la quale arriva a terra non dipende dal piano inclinato.

Il rallentamento provocato dal piano inclinato non modifica la velocità finale, essendo compensato dall’aumento dello spazio percorso rispetto a quello in caduta libera.

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