Relazione tra i momenti di F e di p

Vogliamo trovare una relazione tra il momento della forza e il momento della quantita’ di moto

Partiamo dalle relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{\textbf{F}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

L’analogia tra le due relazioni e’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}x}}$ .

Nel caso di un punto materiale, in seguito vedremo per un sistema, sappiamo che vale la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}=m\overrightarrow{\textbf{a}}=m\,\frac{d\overrightarrow{\textbf{v}}}{dt}=\frac{dm\overrightarrow{\textbf{v}}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}}}$ .

Quindi esiste un legame tra forza e quantita’ di moto, ci aspettiamo allora anche un legame tra momento della forza e momento della quantita’ di moto. Partiamo allora dalla relazione appena trovata

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}}}$ .

Premoltiplichiamo ambo i membri per quel fattore analogo r x

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\,\overrightarrow{\textbf{F}}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\,\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}}}$ .

Il primo membro e’ proprio la definizione di momento della forza rispetto ad un polo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\,\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}\hspace{1cm}(1)}}$ .

Ci stiamo avvicinando a quello che cerchiamo. Prendiamo ora a parte il momento della quantita’ di moto rispetto ad un polo e proviamo a calcolarne la derivata rispetto al tempo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}\hspace{0,4cm} \Longrightarrow\hspace{0,4cm}\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}=\frac{d(\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}})}{dt}}}$ .

I vettori r e p sono due grandezze che variano nel tempo, quindi dalla derivazione del loro prodotto nascono due termini. Dobbiamo inoltre fare attenzione al prodotto vettoriale perche AxB ≠ BxA, cambia il segno.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{r}}}{dt}\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}+\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\,\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}}}$ .

Da questa possiamo ricavarci il secondo termine della (1)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\,\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}-\frac{d\overrightarrow{\textbf{r}}}{dt}\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

e lo mettiamo nella (1)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}-\underbrace{\frac{\textbf{d}\overrightarrow{\textbf{r}}}{\textbf{dt}}\, \textbf{x} \, \overrightarrow{\textbf{p}}}_{(2)}}}$ .

Analizziamo il termine (2) dr/dt , la derivata del vettore posizione nel tempo, e’ la velocita’ del punto Q. Se pero’ il polo O non e’ fisso, ossia se anche O e’ un punto mobile, allora quella derivata e’ la velocita’ del punto Q in un sistema che si sta’ muovendo, quindi e’ una velocita’ relativa pari a V_Q – V₀

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}-(\overrightarrow{\textbf{v}}_Q-\overrightarrow{\textbf{v}}_0)\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}-\underbrace{(\overrightarrow{\textbf{v}}_Q-\overrightarrow{\textbf{v}}_0)\, \textbf{x} \, \textbf{m}\overrightarrow{\textbf{v}}_Q}_{(3)}}}$ .

Studiamo il termine (3)

$\displaystyle{\mathbf{(\overrightarrow{\textbf{v}}_Q-\overrightarrow{\textbf{v}}_0)\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_Q=\underbrace{\overrightarrow{\textbf{v}}_Q\, \textbf{x}\, \textbf{m}\overrightarrow{\textbf{v}}_Q}_{(4) nullo}-\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_Q}}$ .

Il termine (4) e’ nullo perche’ V_Q e mV_Q sono due vettori paralleli e sin0 = 0. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}+\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_Q}}$ .

o anche

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}+\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

Se il polo O e’ fisso la V_O non c’e’ e l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}}}$ .

In un sistema inerziale, la derivata rispetto al tempo del momento della quantita’ di moto di un punto materiale, rispetto ad un punto fisso, e’ pari al momento della forza totale agente su di esso calcolato rispetto al medesimo punto.

Nella prossima lezione vediamo il caso di un sistema di punti fino ad arrivare alla seconda equazione cardinale.

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