Lancio di un oggetto con un certo angolo (Liceo)

Abbiamo visto il moto parabolico che si genera quando lanciamo un oggetto da una certa altezza con una velocità V₀ diretta orizzontalmente. Vediamo ora cosa accade nel caso del lancio di un oggetto con un certo angolo rispetto all’orizzontale.

Lanciando un oggetto con un angolo α rispetto all’orizzontale, asse x, e con una velocità V_o , la traiettoria descritta è sempre una parabola.

Vogliamo studiare questo tipo di moto parabolico.

Lo facciamo così come visto nella lezione precedente, considereremo quindi un moto lungo l’asse x e uno lungo y.

Iniziamo dalle accelerazioni. Dopo aver lanciato il corpo, che per noi è sempre un punto materiale, esso è soggetto alla forza di gravità, ossia è presente l’accelerazione g che tende a portarlo verso il basso. Questa accelerazione agisce solo lungo la direzione y, lungo x non c’è (è diretta verso il basso, verso il centro della terra).

a_x = 0 Lungo x non c’è accelerazione

a_y = – g Lungo la direzione y c’è l’accelerazione g diretta nel verso opposto a y

Passiamo alle velocità. Questa volta la V₀ forma con l’asse x un angolo α , allora, se la scomponiamo lungo x e lungo y vediamo che è presente su ambedue le direzioni.

Lungo x avremo

$\displaystyle{\mathbf{v_{0x}=v_0\,\cos \alpha}}$

Lungo y invece

$\displaystyle{\mathbf{v_{0y}=v_0\,\sin \alpha}}$

Queste sono le componenti della velocità iniziale.

Le velocità istante per istante lungo la traiettoria sono

$\displaystyle{\mathbf{v_x=v_{0x}=v_0\,\cos\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_y=v_{0y}-gt=v_0\,\sin\alpha-gt}}$

Lungo x la velocità è costante e il moto è uniforme, lungo y il moto è uniformemente accelerato con accelerazione a = -g .

Passiamo agli spazi percorsi

$\displaystyle{\mathbf{x=v_{0x}\, t=v_0\, t\,\cos\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{y=v_{0y}\, t-\frac{1}{2}\, g \, t^2=v_0\, t\,\sin\alpha-\frac{1}{2}\, g \, t^2}}$

Nello spazio percorso non compare lo spazio iniziale perchè abbiamo scelto l’origine degli assi proprio nel punto di lancio.

La componente x descrive un moto rettilineo a velocità costante

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}a_x=0\\v_x=v_0\cos\alpha\\x=v_0t\cos\alpha\end{cases}}}$

La componente y descrive un moto uniformemente accelerato

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}a_y=-g\\v_y=v_0\sin\alpha-gt\\y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}}}$

Negli esercizi ci chiedono, normalmente, di calcolare l’altezza massima raggiunta e la gittata, ossia lo spazio massimo raggiunto lungo x (dove casca).

Altezza massima h

Nella lezione precedente, per calcolare h ponevamo la velocità uguale a zero, come condizione. Ora, però la velocità non si annulla come nel lancio in verticale. Dobbiamo fare attenzione che la velocità ha due componenti. Prima di arrivare all’altezza massima il punto sale e si sposta, la velocità è verso l’alto, dopo inizia a scendere e la velocità è verso il basso.

Notiamo che la componente V_x rimane sempre la stessa, invece la V_y si inverte proprio all’apice della parabola.

Allora siamo nel punto di altezza massima quando V_y = 0

Imponiamo allora V_y = 0 nell’equazione della velocità lungo y

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}v_y=v_0\sin\alpha-gt\\v_y=0\end{cases}}}$

Abbiamo allora

$\displaystyle{\mathbf{v_0\sin\alpha-gt=0\Longrightarrow v_0\sin\alpha=gt\Longrightarrow t=\frac{v_0\sin\alpha}{g}}}$

Questo è il tempo impiegato ad arrivare all’apice della parabola. Se mettiamo questo tempo nell’equazione di y l’altezza che troviamo è proprio h.

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2\\ t=\frac{v_0\sin\alpha}{g}\end{cases}}}$

Negli esercizi mettiamo i valori numerici e troviamo h, se vogliamo fare i sofisticati sostituiamo l’espressione del tempo

$\displaystyle{\mathbf{y=h=v_0\,\frac{v_0\sin\alpha}{g}\,\sin\alpha-\frac{1}{2}\, g\biggl(\frac{v_0\sin\alpha}{g}\biggr)^2=\frac{1}{2}\,\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}}}$

Calcolo della gittata

La gittata viene normalmente indicata con la lettera L

In pratica dobbiamo trovare quando è che arriva a terra. Arriva a terra quando si annulla l’altezza, ossia quando y = 0. Imponiamolo.

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}y=v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2\\y=0\end{cases}}}$

Con questo sistema ci ricaviamo il tempo che impiega ad arrivare a terra

$\displaystyle{\mathbf{v_0t\sin\alpha-\frac{1}{2}gt^2=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{t\biggl(v_0\sin\alpha-\frac{1}{2}gt\biggr)=0}}$

Da questa troviamo due soluzioni, la prima t = 0 è l’istante nel quale è partito, anche a t = 0 è a terra, quota zero, questa la possiamo scartare. Vediamo la seconda soluzione

$\displaystyle{\mathbf{v_0\sin\alpha-\frac{1}{2}gt=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{2\, v_0\,\sin\alpha}{g}}}$

Questo tempo lo mettiamo nell’equazione di x e troviamo la gittata L.

Avrete notato che il tempo per arrivare a terra

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}}}$

è il doppio del tempo impiegato a raggiungere la quota massima h

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{v_0\sin\alpha}{g}}}$

Questo non è sempre vero, lo è quando la quota di partenza è uguale a quella di arrivo.

Altra cosa da notare : la gittata dipende dall’angolo α, a parità di V₀ , la gittata è massima quando lo è senα . Il senα assume il suo valore massimo a 90⁰ , quindi il sen2α lo assumerà a 45⁰ . La gittata è massima per α = 45⁰ dove vale

$\displaystyle{\mathbf{x =L=\frac{v_0^2}{g}}}$

perché sen2α = 1 per α = 45⁰ ( senα = 1 per α = 90⁰)

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