Forze apparenti 2 Rotazione

Nello studio dei moti relativi abbiamo visto le accelerazioni che nascono in un sistema in rotazione

e abbiamo trovato la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{a}}_a=\overrightarrow{\textbf{a}}_r+\left (\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}x\overrightarrow{\textbf{r}}-\omega^2\overrightarrow{\textbf{r}}+2\overrightarrow{\omega}x\overrightarrow{v}_r\right )}}$ .

Prima di andare avanti dobbiamo ricordarci che

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}x\overrightarrow{\textbf{r}}}}$

questo termine e’ presente se varia la velocita’ angolare ω, nel caso della giostra, c’e’ se la giostra frena o accelera.

$\displaystyle{\mathbf{-\omega^2\overrightarrow{\textbf{r}}}}$

questo termine e’ dovuto al trascinamento del sistema mobile. Ha la direzione del raggio r ma verso opposto, e’ radiale, quindi e’ diretto verso l’interno.

$\displaystyle{\mathbf{2\overrightarrow{\omega}x\overrightarrow{v}_r}}$

e’ l’accelerazione di Coriolis e nasce se c’e’ V_r quindi se camminiamo nella giostra che ruota

Riprendiamo la nostra relazione di prima che ci da’ a_ae moltiplichiamo tutto per la massa m

$\displaystyle{\mathbf{m\overrightarrow{\textbf{a}}_a=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r+\left (m\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}x\overrightarrow{\textbf{r}}-m\omega^2\overrightarrow{\textbf{r}}+2m\overrightarrow{\omega}x\overrightarrow{v}_r\right )}}$ .

Tutto quello che e’ tra parentesi tonde lo portiamo a primo membro

$\displaystyle{\mathbf{\left (-m\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}x\overrightarrow{\textbf{r}}+m\omega^2\overrightarrow{\textbf{r}}-2m\overrightarrow{\omega}x\overrightarrow{v}_r\right )+m\overrightarrow{\textbf{a}}_a=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r}}$ .

Stiamo ragionando come nel caso del trascinamento per semplice traslazione. Le forze apparenti sono quelle che dobbiamo aggiungere nei sistemi non inerziali per spiegarci il secondo principio. La somma di tutte le forze a primo membro deve dare quello che vedo nel sistema non inerziale.

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}_{app}+\sum\overrightarrow{F}_{reali}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r}}$ .

Diamo una spiegazione a queste forze

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=m\omega^2\overrightarrow{\textbf{r}}}}$

Questa e’ chiamata forza centrifuga ed ha la direzione e il verso del raggio, e’ diretta verso l’esterno ed ha verso contrario all’accelerazione centripeta.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=-m\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}x\overrightarrow{\textbf{r}}}}$

Questa e’ la forza tangenziale con verso contrario all’accelerazione tangenziale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=-2m\overrightarrow{\omega}x\overrightarrow{\textbf{v}}_r}}$

Questa e’ la forza di Coriolis, contraria all’accelerazione di Coriolis.

Quando abbiamo studiato le forze apparenti nella traslazione pura abbiamo trovato la sola forza apparente -m a_t ora invece abbiamo tre forze apparenti

Immaginate di essere in una gistra in rotazione e di avere un pendolo, se lo mettete in oscillazione vedrete che c’e’ una forza che gli fa variare il piano di oscillazione. Se invece guardate il pendolo fuori dalla giostra, in un sistema fisso, lo vedete oscillare normalmente e vedete che la giostra ruota. Questo e’ cio’ che accade al famoso pendolo di Focault, dopo un po’ che oscilla, la forza di Coriolis lo fa uscire dal piano di oscillazione, Questo per noi che lo guardiamo dalla terra, ossia da un riferimento che ruota, da fuori della terra non vediamo il piano che cambia, bensi’ la terra che gira e non dobbiamo quindi considerare la forza di Coriolis. Tutto dipende dal sistema da cui facciamo l’osservazione.

Vediamo un esempio che puo’ chiarirci le idee. Supponiamo che la terra sia un sistema inerziale, in effetti possiamo quasi considerarlo tale, e guardiamo il moto della luna

L’osservatore e’ nel sistema inerziale, sulla terra, come forza agente vede la forza di attrazione gravitazionale F_G

$\displaystyle{\mathbf{F_G=G\frac{M_TM_L}{d^2}}}$

dove G e’ la costante di gravitazione universale. Newton si domamdo’ perche’ la luna non cade sulla terra visto che e’ attratta dalla forza F_g , o meglio perche’ la mela cade e la luna no, visto che sono soggette entrambe alla F_g ? Questo accade perche’ la luna ha una sua velocita’ V e descrive quasi una circonferenza, questa velocita’ la fa sfuggire all’attrazione terrestre, la F_G riesce solo a modificare la direzione di V facendo rimanere la luna nella sua orbita attorno alla terra. La F_G da’ alla luna l’accelerazione normale che la fa’ girare intorno alla terra. Questa e’ l’unica forza presente, quindi e’ quella che produce il prodotto m x a

$\displaystyle{\mathbf{F_G=G\frac{M_TM_L}{d^2}=M_La_L}}$ .

Questa accelerazione non e’ di caduta, ma e’ l’accelerazione nermale V²/d

$\displaystyle{\mathbf{F_G=G\frac{M_TM_L}{d^2}=M_La_L=M_L\frac{V_L^2}{d}=M_L\omega^2d}}$ .

Con V velocita’ orbitale della luna e ω velocita’ angolare della luna.

$\displaystyle{\mathbf{G\frac{M_TM_L}{d^2}=M_L\,\omega^2d\Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{GM_T}{d^3}}}}$ .

E il periodo e’

$\displaystyle{\mathbf{T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM_T}}\simeq 28\, giorni}}$ .

Questo e’ il tempo impiegato dalla luna per la rotazione.

Ora ci spostiamo sulla luna, nel sistema non inerziale, stiamo sul sistema che e’ in movimento, sta’ ruotando intorno alla terra. Noi pero’ non ci accorgiamo di questo movimento. Sappiamo che c’e’ la forza di gravitazione, pero’ se non ci accorgiamo di ruotare, non riusciamo a spiegarci perche’ non cadiamo verso la terra . Per spiegarci tutto questo dobbiamo applicare una forza apparente, aggiungiamo una forza, la forza centrifuga, che compensi la F_G

$\displaystyle{\mathbf{F_c=M_L\frac{v_L^2}{d}=M_L\,\omega^2 d}}$ .

Se andiamo a scrivere il secondo principio dobbiamo tenere in conto questa forza

F_G – F_C = M_L a_caduta= 0 visto che non cade sulla terra ⇒ F_G = F_C

$\displaystyle{\mathbf{G\frac{M_TM_L}{d^2}-M_L\,\omega^2\,d=0}}$ .

E’ lo stesso risultato a cui eravamo giunti dal sistema inerziale, pero’ prima M_Lω²d non compariva come forza, ma come prodotto ma, ora invece e’ a primo membro ed e’ una forza, la forza centrifuga.

Possiamo dire che se quel termine e’ a secondo membro siamo nel sistema inerziale, se sta’ a primo membro siamo in quello non inerziale.

Nella prossima lezione vediamo come varia l’accelerazione di gravita’ g se consideriamo il fatto che la terra ruota

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Prossima lezione Accelerazione di gravita’ e forza centrifuga