Circuiti elettrici resistenze serie e parallelo

In questo studio dei circuiti elettrici e resistenze serie e parallelo ci riferiamo al regime stazionario dove la corrente non varia nel tempo e i componenti presenti risultano ohmici, ossia seguono la legge di Ohm.

Ai componenti che realizzano un determinato valore di resistenza viene dato il nome di resistori, però, normalmente, il nome resistenza indica sia il componente che il suo valore.

Un circuito in regime stazionario è costituito :

Da uno più generatori che forniscono l’energia per far circolare la corrente
Uno o più componenti
I conduttori per i collegamenti

Abbiamo già introdotto il generatore elettrico

Per un generatore f = V_A – V_B a circuito aperto.

L’energia che eroga la batteria nel tempo dt (Potenza erogata dalla batteria è :

$\displaystyle{\mathbf{P=f \, \frac{dQ}{dt}}}$

Vediamo quali sono i metodi per studiare un circuito elettrico.

Questo è un circuito formato da una sola maglia. Una maglia è un qualsiasi percorso chiuso all’interno di un circuito.

La corrente che scorre è sempre la stessa per tutti i componenti perchè non c’è accumulo di corrente e non ci sono punti dove può dividersi (Nodi).

Facciamo un esempio chiarificatore. Questo circuito ha tre maglie, quella di sinistra che comprende f, R₁, R₂e R₃quella a destra che ha R₄, R₅, R₆e R₂_,infine la maglia esterna con f, R₁R₄, R₅, R₆ , R₂. Presenta anche due nodi A e B dove la corrente può dividersi.

Torniamo al primo circuito, quello con una sola maglia. Un problema tipico è quello che ci chiede la corrente I che circola nella maglia conoscendo la f.e.m. f del generatore e tutte le resistenze.

Possiamo utilizzare due metodi :

1 – Considerando l’energia in gioco (punto di vista energetico)

2 – Considerando i potenziali (punto di vista dei potenziali)

Risoluzione con l’energia

Quello che vogliamo fare è un bilancio energetico tra ciò che eroga la batteria e quello che viene dissipato nelle resistenze.

La potenza erogata dal generatore è :

$\displaystyle{\mathbf{P=f\, I}}$

La potenza dissipata per effetto di Joule su una resistenza è data da :

$\displaystyle{\mathbf{P=R\, I^2}}$

Scriviamo la potenza dissipata su ogni resistenza

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_1}=R_1\, I^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_2}=R_2\, I^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_3}=R_3\, I^2}}$

Ricordiamo che la corrente è sempre la stessa perchè non ci sono nodi dove può dividersi.

La potenza totale dissipata dalle resistenze è data dalla somma delle singole potenze.

$\displaystyle{\mathbf{P_R=I^2\, (R_1+R_2+R_3)}}$

Ora facciamo il bilancio energetico, ossia uguagliamo la potenza erogata a quella dissipata.

$\displaystyle{\mathbf{f\, I=I^2(R_1+R_2+R_3)}}$

Da questa relazione ricaviamo la corrente che scorre nel circuito

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{f}{R_1+R_2*R_3}}}$

In generale, se le resistenze sono n

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{f}{\sum_i R_i}}}$

Una volta trovata la corrente, possiamo calcolare la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza semplicemente applicando la legge di Ohm

$\displaystyle{\mathbf{V_{R_1}=R_1\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_{R_2}=R_2\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_{R_3}=R_3\, I}}$

Risoluzione con le differenze di potenziale

Applichiamo la legge di Ohm ad ogni singolo pezzo resistivo calcolando così le d.d.p. ai capi di ogni resistenza.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_1\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_B-V_C=R_2\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_C-V_D=R_3\, I}}$

Nel punto D c’è il valore minimo del potenziale. La batteria riporta le cariche al livello di potenziale A (V_A). La differenza di potenziale ai capi del generatore è

$\displaystyle{\mathbf{V_D-V_A=-f}}$

C’è il segno meno davanti alla f.e.m. f perchè f = V_A– V_D

Ora sommiamo queste quattro equazioni membro a membro

$\displaystyle{\mathbf{0=R_1\, I+R_2\, I+R_3\, I-f}}$

La corrente la possiamo mettere in evidenza

$\displaystyle{\mathbf{f=I\, (R_1+R_2+R_3)\,\Longrightarrow\, I=\frac{f}{R_1+R_2+R_3}}}$

Nell’esempio visto le resistenze sono collegate in serie.

Due o più resistenze sono collegate in serie se sono attraversate dalla stessa corrente.

Questo concetto lo abbiamo usato fino ad ora, adesso lo dimostriamo.

Le resistenze nella figura sono in serie. Il punto C non è un nodo dove la corrente si divide, ma è un punto che usiamo per calcolare la resistenza equivalente da sostituire a R₁e R₂.

Applichiamo la legge do Ohm alle due resistenze.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_C=R_1\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_C-V_B=R_2\, I}}$

Sommiamo le due relazioni membro a membro

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=I(R_1+R_2)}}$

Ora, al posto delle due resistenze ne mettiamo una sola R_S(resistenza serie), mantenendo la stessa d.d.p. e la stessa corrente.

Applichiamo la legge di Ohm

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_S\, I}}$

Confrontiamo le due relazioni

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=I(R_1+R_2)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_S\, I}}$

Se la d.d.p. è la stessa e la corrente pure, necessariamente

$\displaystyle{\mathbf{R_S=R_1+R_2}}$

La resistenza equivalente a due resistenze in serie è data dalla loro somma. Questa relazione ha validità generale, vale anche per n resistenze.

$\displaystyle{\mathbf{R_S=\sum_{i=1}^n R_i}}$

Per studiare altri tipi di circuiti dobbiamo vedere l’altra configurazione, quella in parallelo.

Nella figura A e B sono due nodi. Quando la corrente I arriva in A si divide in due correnti I₁e I₂che attraversano rispettivamente R₁e R₂. Nel nodo B le due correnti si ricompongono a formare I.

Ovviamente, in questo caso, le due resistenze non sono attraversate dalla stessa corrente. Quello che hanno uguale è la differenza di potenziale ai loro capi.

Resistenze in parallelo hanno la stessa d.d.p. ai loro capi.

Scriviamo la legge di Ohm per le due resistenze.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_1\, I_1\, \Longrightarrow\, I_1=\frac{V_A-V_B}{R_1}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_2\, I_2\, \Longrightarrow\, I_2=\frac{V_A-V_B}{R_2}}}$

La corrente totale è la somma di I1 e I2

$\displaystyle{\mathbf{I=I_1+I_2=\frac{V_A-V_B}{R_1}+\frac{V_A-V_B}{R_2}=(V_A-V_B)\Biggl (\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\Biggr )}}$

Disegniamo la struttura equivalente a parità di d.d.p. e di corrente I.

Vogliamo calcolare la R_Presistenza parallelo.

Ora la corrente non si divide più

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_P\, I\,\Longrightarrow\, I=\frac{V_A-V_B}{R_P}}}$

Se la corrente è rimasta la stessa e la d.d.p. pure, come fatto prima se confrontiamo le due relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}}$

Questa relazione vale per n resistenze in parallelo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_P}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}}}$

Se le resistenze sono solo due

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1\, R_2}\,\Longrightarrow\, R_P=\frac{R_1\, R_2}{R_1+R_2}}}$

Torniamo al circuito di prima

In questi tipi di circuiti, una volta trovata la corrente I è possibile calcolare, in modo semplice, le correnti I1 e I2.

Dobbiamo solo ricordare che la differenza di potenziale è la stessa per le due resistenze.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=I_1\, R_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=I_2\, R_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=I\, R_P}}$

Possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{I_1\, R_1=I\, R_P\,\Longrightarrow\, I_1=I\,\frac{R_P}{R_1}=\frac{I}{R_1}\,\Biggl (\frac{R_1\, R_2}{R_1+R_2}\Biggr )=I\, \frac{R_2}{R_1+R_2}}}$

La relazione

$\displaystyle{\mathbf{I_1=I\, \frac{R_2}{R_1+R_2}}}$

ci dice in che modo si ripartisce la corrente I a seconda dei valori delle resistenze.

Per il calcolo della corrente I2 possiamo procedere in maniera analoga, oppure, molto più semplicemente

$\displaystyle{\mathbf{I=I_1+I_2\,\Longrightarrow\, I_2=I-I_1}}$

Prima di concludere con i circuiti elettrici e resistenze serie e parallelo è interessante vedere i casi limite, ad esempio per I1, stessa cosa vale per I2.

Supponiamo R2 = ∞

Se R2 = ∞ vuol dire che è un circuito aperto.

Il nodo A non c’è più e la corrente I non si divide

Risulta allora I = I1

La corrente non va nel ramo aperto.

La corrente va dove trova meno resistenza.

Supponiamo R2 = 0

Al posto di R2 mettiamo un pezzetto di filo la cui resistenza è praticamente nulla. Ricordate che

$\displaystyle{\mathbf{R=\rho\,\frac{L}{S}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I_1=I\, \frac{R_2}{R_1+R_2}=0}}$

La corrente non scorre più in R1, va tutta nel ramo in cortocircuito dove la resistenza è nulla.

Ora vi spiego un modo per trovare la corrente in una resistenza quando ne abbiamo tante in parallelo.

Facciamo sempre il caso di due resistenze. Dobbiamo considerare le potenze.

Potenza dissipata da R1 per effetto Joule

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_1}=R_1\, I_1^2=\frac{(V_A-V_B)^2}{R_1}}}$

Analogamente per R2

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_2}=R_2\, I_2^2=\frac{(V_A-V_B)^2}{R_2}}}$

La potenza totale dissipata è quella su R_P

$\displaystyle{\mathbf{P_{R_P}=R_P\, I^2}}$

Facciamo il rapporto, ad esempio tra le potenze dissipate su R1 e su Rp

$\displaystyle{\mathbf{\frac{P_{R_1}}{P_{R_P}}=\frac{R_P}{R_1}\,\Longrightarrow\, \frac{I_1^2\, R_1}{I^2\, R_P}=\frac{R_P}{R_1}\,\Longrightarrow\, I_1=I\, \frac{R_P}{R_1}}}$

Se le resistenze in parallelo sono in numero di n, la corrente nel ramo i-esimo è semplicemente

$\displaystyle{\mathbf{I_i=I\,\frac{R_P}{R_i}}}$

Questa volta abbiamo terminato la lezione sui circuiti elettrici resistenze serie e parallelo. Complimenti a che è arrivato fino in fondo.