Equazioni lineari in senx e cosx

Le equazioni lineari in senx e cosx si presentano nella forma

$\displaystyle{\mathbf{a\sin x +b\cos x +c=0}}$

Per risolverle si fa ricorso alle equazioni parametriche

$\displaystyle{\mathbf{\sin x=\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \cfrac{x}{2}} \qquad \qquad \cos x=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \cfrac{x}{2}} }}$

Queste relazioni sono valide per

$\displaystyle{\mathbf{\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2} +k\pi \Longrightarrow x\neq \pi +2k\pi}}$

Allora, come prima cosa, quando risolviamo le equazioni lineari in senx e cosx, dobbiamo verificare se x = π + 2kπ sono soluzioni dell’equazione data.

$\displaystyle{\mathbf{a\sin (\pi +2k\pi ) +b\cos (\pi +2k\pi ) +c=0}}$

Da questa otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{- b = c \,\Longrightarrow\, b = c}}$

Questi valori sono soluzioni se b = c

Tutte le altre eventuali soluzioni le otteniamo sostituendo a senx e cosx le equazioni parametriche.

Vediamo un esempio

$\displaystyle{\mathbf{\sin x - \cos x -1 =0}}$

Verifichiamo se x = π + 2kπ sono soluzioni dell’equazione

$\displaystyle{\mathbf{\sin (\pi + 2k\pi ) - \cos (\pi +2k\pi ) -1 =0}}$

Che ci da 0 = 0, l’equazione è soddisfatta, quindi x = π + 2kπ sono soluzioni.

Vediamo le altre soluzioni sostituendo a senx e cosx le espressioni date dalle formule parametriche

$\displaystyle{\mathbf{\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \cfrac{x}{2}}\, - \cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \cfrac{x}{2}}\, -1 =0}}$

Risolviamo moltiplicando tutto per il denominatore delle due frazioni

$\displaystyle{\mathbf{2\tan \frac{x}{2}\, -1+\tan^2 \frac{x}{2}\, -1 -\tan^2 \frac{x}{2} =0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{2\tan \frac{x}{2}\, -2=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\tan \frac{x}{2}=1}}$

Ora dobbiamo risolvere l’equazione goniometrica elementare

Una soluzione è α = π/4 e tutte le soluzioni sono date dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}\, +k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}\, +2k\pi}}$

Totale delle soluzioni

$\displaystyle{\mathbf{x=\pi +2k\pi \qquad e \qquad x=\frac{\pi}{2}\, +2k\pi}}$

Vediamo anche come risolvere graficamente le equazioni lineari in senx e cosx. Facciamolo direttamente con un esempio.

$\displaystyle{\mathbf{\sin x + \cos x -1 =0}}$

Dato che senx e cosx l’ordinata e l’ascissa del punto P che è l’estremo dell’arco x, poniamo

senx = Y e cosx = X

Sostituiamo nell’equazione data

X +Y-1=0

Questa equazione la mettiamo a sistema con quella della circonferenza goniometrica che ha centro nell’origine degli assi e raggio unitario

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\mathbf{X+Y-1=0} \\ \mathbf{X^2+Y^2 =1} \end{cases}}}$

Ricaviamo X dalla prima e la sostituiamo nella seconda

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\mathbf{X=1-Y} \\ \mathbf{ (1-Y)^2 +Y^2 =1} \end{cases}}}$

Risolviamo la seconda equazione

$\displaystyle{\mathbf{Y^2+1-2Y+Y^2=1 \Longrightarrow 2Y^2-2Y=0 \Longrightarrow Y(Y-1)=0}}$

Per l’annullamento del prodotto otteniamo

Y = 0

Y = 1

Per Y = 0 ⇒ X = 1 – 0 = 1

Abbiamo trovato il punto P(1 , 0) intersezione della retta X + Y – 1 = 0 con la circonferenza.

Per Y = 1 ⇒ X =1 – 1 = 0

L’altro punto è P'(o,1)

Questi sono i due punti trovati e sono gli estremi degli archi

x = 2kπ

x = π/2 + 2kπ

che sono anche le soluzioni cercate.