Definizione di capacità

Questa lezione sulla definizione di capacità è per il liceo, per fisica 1 la trovi in capacità di un conduttore sferico.

Per definire la capacità consideriamo un conduttore sferico carico e isolato.

Definiamo la grandezza capacità

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}}}$

La capacità C è il rapporto tra la carica Q che mettiamo sul conduttore e il suo potenziale.

Possiamo parlare di un potenziale per il conduttore perchè abbiamo visto che esso è costante in tutto il conduttore. Vedi campo elettrico e potenziale di un conduttore sferico.

In qualunque suo punto V è sempre lo stesso e la sua espressione è

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Dove R è il raggio della sfera.

Questa relazione ci dice che più carica mettiamo sul conduttore e più aumenta il potenziale. C’è proporzionalità tra carica Q e potenziale V.

Ovviamente, non possiamo mettere quanta carica ci pare sul conduttore, arriveremmo a dei fenomeni di scarica.

La capacità non indica la massima carica che possiamo mettere sul conduttore diviso il potenziale, essa è una grandezza che misura il rapporto tra la carica posizionata e la tensione alla quale si porta il conduttore.

Unità di misura

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}\qquad\, \frac{Coulomb}{Volt}=Farad\, \Bigl (F\Bigr )}}$

Calcoliamo la capacità della sfera conduttrice isolata.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}}}$

Sostituiamo la prima nella seconda.

$\displaystyle{\mathbf{C=\cfrac{Q}{\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}=4\pi\epsilon_o\, R}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{C=4\pi\epsilon_o\, R}}$

Abbiamo così trovato che la capacità non dipende dalla carica Q, essa dipende dal raggio R. Questo risultato si può generalizzare.

Per un conduttore qualsiasi, di qualunque forma, la capacità dipende dalla geometria del conduttore, cioè da come è fatto, dalla sua forma.

Da notare

Sappiamo che la costante dielettrica del vuoto è una quantità molto piccola

$\displaystyle{\mathbf{\epsilon_o \simeq 8,8\times 10^{-12}F/m}}$

Questo vuol dire che, per una sfera di diametro 1 metro, la capacità vale

$\displaystyle{\mathbf{C=4\pi\epsilon_o\, R=4\pi\times 8,8\times 10^{-12}\times 1\simeq 111\times 10^{-12} F=111pF}}$

Si vede allora che il valore di 1 Farad è una quantità enorme, infatti troveremo sempre i suoi sottomultipli.

1 mF = 10^-3F

1 μF = 10^-6F

1 nF = 10^-9F

1 pF = 10^-12F

Vedremo che ci sono dei metodi per aumentare la capacità. Uno è quello di mettere la sfera in un mezzo con costante dielettrica ε_r >> ε_o