Energia meccanica

Abbiamo parlato di Energia cinetica e di Energia potenziale introduciamo ora l’energia meccanica che non è un altro tipo di energia, ma una combinazione delle due già studiate.

Rivediamo brevemente alcuni concetti.

Energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_c=\frac{1}{2}\, mv^2}}$

Essa è legata al movimento. Se un corpo è dotato di velocità ha anche energia cinetica.

Conosciamo anche il teorema del lavoro e dell’energia cinetica (Teorema delle forze vive).

$\displaystyle{\mathbf{L=E_{c2}-E_{c1}}}$

Il lavoro compiuto da tutte le forze presenti è pari alla variazione di energia cinetica. Questo accade perchè una forza provoca un’accelerazione e accelerazione vuol dire variazione di velocità, quindi variazione di energia cinetica.

Dopo abbiamo introdotto l’energia potenziale U per le forze conservative. In particolare abbiamo studiato l’energia potenziale nel caso della forza peso e, nella lezione dedicata alla molla , anche l’energia potenziale elastica.

Nel caso di forze conservative il lavoro è pari alla variazione di energia potenziale.

Per introdurre l’energia meccanica consideriamo il caso in cui le forze in gioco siano tutte conservative.

$\displaystyle{\mathbf{L_{t,c}=E_{c2}-E_{c1}}}$

Il lavoro totale delle forze conservative è pari alla variazione di Ec.

Come forze conservative consideriamo quelle studiate, forza peso P e forza elastica F_el .

$\displaystyle{\mathbf{L_P=U_{P1}-U_{P2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{el}=U_{el1}-U_{el2}}}$

Sostituiamo nell’espressione del lavoro e dell’energia cinetica le espressioni del lavoro della forza peso e di quella elastica.

$\displaystyle{\mathbf{U_{P1}-U_{P2}+U_{el1}-U_{el2}=E_{c2}-E_{c1}}}$

Portiamo a sinistra dell’uguale tutti i termini con il pedice 1, quelli relativi alla posizione iniziale e a destra quelli con pedice 2, relativi alla posizione finale.

$\displaystyle{\mathbf{U_{P1}+U_{el1}+E_{c1}=U_{P2}+U_{el2}+E_{c2}}}$

Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{U_{P1}+U_{el1}+E_{c1}=E_{m1}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{P2}+U_{el2}+E_{c2}=E_{m2}}}$

E_m è un’energia mista, contiene parte di cinetica e parte di potenziale, essa viene chiamata energia meccanica. E_m1 è l’energia meccanica nel punto iniziale, E_m2 è quella nel punto finale.

Chiamiamo

$\displaystyle{\mathbf{U_{P1}+U_{el1}=U_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{P2}+U_{el2}=U_2}}$

Le relazioni per l’energia meccanica diventano

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=U_1+E_{c1}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=U_2+E_{c2}}}$

Torniamo ora alla relazione

$\displaystyle{\mathbf{U_{P1}+U_{el1}+E_{c1}=U_{P2}+U_{el2}+E_{c2}}}$

Con le posizioni fatte diventa

$\displaystyle{\mathbf{U_1+E_{c1}=U_2+E_{c2}}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=E_{m2}}}$

Questa relazione ci dice che tra il punto 1 e il punto 2 l’energia meccanica non è variata, è rimasta la stessa.

La somma di tutte le energie potenziale e dell’energia cinetica (questa è una sola) si conserva nello spostamento da un punto 1 a un punto 2. Ciò significa anche dire che tutti i punti lungo lo spostamento sono punti nei quali si conserva l’energia meccanica.

Conservazione dell’energia meccanica :

In presenza di forze conservative la somma delle energie potenziali e di quella cinetica si conserva durante il moto.

Vediamo cosa accade in presenza di una forza non conservativa, cosi capiamo anche cosa sono queste forze. Come esempio prendiamo la forza d’attrito, che è una tipica forza non conservativa.

Ripartiamo dal teorema del lavoro e della variazione di energia cinetica che in questo caso diventa

$\displaystyle{\mathbf{L_c+L_{nc}=E_{c2}-E_{c1}}}$

Il lavoro delle forze conservative più quello delle forze non conservative è pari alla variazione di energia cinetica.

Il lavoro delle forze conservative lo possiamo esprimere come variazione di energia potenziale

$\displaystyle{\mathbf{L_c=U_1-U_2}}$

Quello delle forze non conservative no, per esse non possiamo introdurre un’energia legata solo alla posizione

$\displaystyle{\mathbf{U_1-U_2+L_{nc}=E_{c2}-E_{c1}}}$

Come fatto prima portiamo a sinistra i pedici 1 e a destra i pedici 2

$\displaystyle{\mathbf{U_1+E_{c1}+L_{nc} =U_2+E_{c2}}}$

Sostituiamo a U₁ + E_c1 l’energia meccanica E_m1 e a U₂ + E_c2 quella E_m2

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}+L_{nc}=E_{m2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{nc}=E_{m2}-E_{m1}}}$

L’energia meccanica non si conserva più, non è più E_m1 = E_m2 , ora compare anche un altro termine legato alla forza non conservativa. Come esempio abbiamo preso l’attrito. Vediamo quanto vale il lavoro di questa forza.

L’attrito è schematizzato con la forza F_A. L’oggetto si sta muovendo verso destra, mentre la forza è diretta verso sinistra.

$\displaystyle{\mathbf{L_{F_A}=F_As\cos\alpha}}$

α è l’angolo tra forza e spostamento che non è zero, ma 180^o . Il cos (180^o)= – 1 , allora

$\displaystyle{\mathbf{L_{F_A}=-F_As}}$

Se il lavoro della nostra forza non conservativa è minore di zero vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}-E_{m1}<0}}$

Questo significa, in definitiva che

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}<E_{m1}}}$

Abbiamo perso energia. Nel caso dell’attrito l’energia meccanica non si conserva, diminuisce. Dove va a finire l’energia persa ? La ritroviamo sotto forma di calore. L’energia non si perde per strada, si trasforma.

Vediamo un caso pratico di utilizzo di quanto studiato.

Un oggetto di massa m è lasciato cadere da fermo, velocità iniziale nulla, da quota h. Abbiamo contrassegnato con gli indici 1 e 2 le posizioni di partenza e di arrivo.

E’ presente la sola forza peso P che sappiamo essere conservativa. Possiamo allora applicare il teorema della conservazione dell’energia meccanica

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=E_{m2}}}$

Dobbiamo valutare E_m1 e E_m2 .

Nel punto 1 la massa è ferma a quota h e la sua energia è

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=E_{c1}+U_1=U_10mgh}}$

L’energia cinetica è nulla perchè nel punto 1 la velocità è uguale a zero.

Nel punto 2 la velocità c’è è quella con la quale la massa arriva a terra, invece non c’è energia potenziale perchè siamo a quota zero.

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=E_{c2}+U_2=E_{c2}=\frac{1}{2}\, mv^2}}$

Ora uguagliamo le due energie

$\displaystyle{\mathbf{mgh=\frac{1}{2}\, mv^2}}$

Da questa relazione, se è nota h, possiamo, molto semplicemente, ricavare la velocità di impatto a terra.

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{2gh}}}$

Quello che dobbiamo notare è che E_m non cambia il suo valore nel passaggio dal punto 1 al punto 2, sono U ed E_c che variano in modo tale che la loro somma resti costante durante tutto il moto.

Quando la massa parte, la sua energia è tutta potenziale, mano a mano che scende aumenta il valore dell’energia cinetica e diminuisce quello dell’energia potenziale. Quando arriva a quota zero, l’energia è tutta cinetica. Durante tutto il moto, però, la loro somma resta costante.