Sfera carica con cavità eccentrica

Vogliamo studiare il campo elettrico nel caso di una sfera carica con cavità eccentrica.

Nella distribuzione sferica è presente un buco, chiamato cavità eccentrica, il cui centro O’ non coincide con il centro della sfera O.

Calcoliamo il campo elettrico E in un punto P qualsiasi all’interno della cavità.

In questo caso non applichiamo Gauss perchè il problema non ha simmetrie, trovare una superficie Σ di Gauss adatta non è affatto semplice.

Quello che faremo è scomporre il problema in due sottoproblemi più semplici, in pratica utilizziamo il principio di sovrapposizione degli effetti.

Prima prendiamo in considerazione la sfera integra, senza la cavità.

Caso 1 sfera privata della cavità eccentrica.

In seguito, per creare la cavità, immaginiamo di immettere carica negativa con la stessa densità di quella positiva presente.

Caso 2 creiamo la cavità mettendo una giusta quantità di carica negativa.

In questo modo, il problema iniziale asimmetrico è stato ricondotto a due situazioni simmetriche, infatti il caso 1 è quello di una distribuzione sferica con densità di carica uniforme +ρ , e il caso 2 è ancora una distribuzione sferica di densità -ρ uniforme.

Andamento del campo elettrico E₁ nel caso 1. Attenzione, nella figura mancano le cariche positive lì dove c’era la cavità, ce ne scusiamo.

Questo è invece il campo E₂del caso 2.

Il campo elettrico totale E è la somma di E₁e E₂

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\overrightarrow{\mathbf{E}}_1+\overrightarrow{\mathbf{E}}_2}}$

In entrambi i casi il punto P è un punto interno ad una distribuzione sferica. Sappiamo che, per r<R ( vedi Campo generato da una distribuzione sferica )

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\rho}{3\epsilon_o}\, r}}$

r è la distanza tra il centro della sfera in considerazione e il punto di osservazione.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_1=\frac{\rho}{3\epsilon_o}\,\overrightarrow{\mathbf{OP}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_2=-\frac{\rho}{3\epsilon_o}\,\overrightarrow{\mathbf{O'P}}}}$

Il campo elettrico totale risulta allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\overrightarrow{\mathbf{E}}_1+\overrightarrow{\mathbf{E}}_2=\frac{\rho}{3\epsilon_o}\,\overrightarrow{\mathbf{OP}}-\frac{\rho}{3\epsilon_o}\,\overrightarrow{\mathbf{O'P}}}}$

Mettiamo in evidenza la frazione comune

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{3\epsilon_o}(\overrightarrow{\mathbf{OP}}-\overrightarrow{\mathbf{O'P}})}}$

Dobbiamo notare che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{OP}}-\overrightarrow{\mathbf{O'P}}=\overrightarrow{\mathbf{OP}}+\overrightarrow{\mathbf{PO'}}=\overrightarrow{\mathbf{OO'}}}}$

Il campo elettrico allora diventa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{3\epsilon_o}\, (\overrightarrow{\mathbf{OO'}})}}$

La distanza O’O è la misura dell’eccentricità ed è costante, questo vuol dire che il campo E è costante ed ha la direzione del vettore O’O.

Il campo elettrico E è lo stesso in tutti i punti della cavità. Le linee di forza sono quelle di un campo uniforme.