Densità e intensità di corrente elettrica

Prima di introdurre i concetti di densità e intensità di corrente elettrica, facciamo un breve riassunto della lezione precedente sulla teoria di Drude e puntualizziamo alcune stranezze.

Quando una carica è libera di muoversi in un campo elettrico E è soggetta ad una forza. Per il secondo principio della dinamica, una forza produce un’accelerazione.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=q\overrightarrow{\mathbf{E}}=m\overrightarrow{\mathbf{a}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{a}}=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Avrete certamente notato che facciamo sempre il caso di una carica positiva, però sappiamo che in un metallo le cariche libere sono gli elettroni, cariche negative. Perchè lo facciamo ? Perchè l’elettrone è stato scoperto con grande ritardo rispetto al fenomeno della corrente. All’inizio del XIX secolo, venne definita la corrente che, nelle soluzioni, è originata dal movimento sia di ioni positivi che di ioni negativi. Come verso convenzionale per la corrente venne scelto quello secondo cui si muovono le cariche positive, ossia nel verso del campo elettrico.

Dato che questa convenzione è ancora mantenuta, la useremo anche noi, però puntualizzando, di volta in volta, la realtà dei fenomeni nei metalli.

Dopo questa parentesi, riportiamo la velocità della carica trovata la lezione scorsa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}(t)=\overrightarrow{\mathbf{V_0}}+\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

Siamo poi passati alla media delle velocità, notando che la media vettoriale della velocità iniziale V₀risulta nulla

$\displaystyle{\mathbf{<\overrightarrow{\mathbf{V}}(t)>=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

La velocità non cresce indefinitamente nel tempo, come potrebbe sembrare. In realtà, le particelle, stando all’interno di un reticolo, urtano contro i nuclei fermi, perdono la loro velocità e ripartono da zero.

Dopo ogni periodo di tempo t = τ , tempo tra un urto e l’altro, la velocità si azzera.

Abbiamo visto che questo moto è equivalente ad un moto rettilineo uniforme che avviene a velocità costante V_d di deriva. Ciò accade se gli spazi percorsi nei due casi sono gli stessi e questo si ha se

$\displaystyle{\mathbf{V_d=\frac{V_{max}}{2}}}$

Dato che

$\displaystyle{\mathbf{V_{max}=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\,E\, \tau}}$

Per la velocità di deriva si ha

$\displaystyle{\mathbf{V_{d}=\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\,E\, \tau}}$

Da ora in poi, per noi, la carica si muove a velocità costante, pari alla velocità di deriva, all’interno del metallo.

Applichiamo allora un campo elettrico E ad un filo metallico

la carica q si sposta nel verso del campo elettrico E con velocità V_dcostante.

Velocità vettoriale di q

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}\, \tau}}$

Il tempo τ, tra un urto e il successivo, dipende oltre che dalla velocità, anche dalla distanza tra due nuclei

$\displaystyle{\mathbf{\tau =\frac{L}{V_T}}}$

L è detto libero cammino medio, V_Tè la velocità termica. Sostituiamo nella velocità

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\,\Biggl (\frac{L}{V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

V_Tè la velocità media con la quale, realmente, la carica si muove nel metallo.

Il prodotto tra i termini nelle parentesi tonde viene chiamato mobilità e indicato con la lettera μ

$\displaystyle{\mathbf{\mu =\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\,\Biggl (\frac{L}{V_T}\Biggr )}}$

Con questa posizione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=\mu \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

La velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico E.

Vediamo cosa avviene nella realtà

La carica mobile nel metallo è l’elettrone – e

La velocità di deriva è allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=-\,\Biggl (\frac{e}{2m}\Biggr )\,\Biggl (\frac{L}{V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

La velocità di deriva è contraria al campo elettrico E.

Finalmente possiamo parlare di densità e intensità di corrente elettrica.

La densità di corrente viene indicata con la lettera J ed è un vettore, l’ntensità di corrente con la lettera I ed è uno scalare.

Riprendiamo il nostro filo conduttore nel quale creiamo un campo elettrico, ad esempio tramite una batteria collegata ai suoi capi.

Le cariche, che sontantissime, prendono a muoversi nella direzione del campo elettrico.

Ci mettiamo in un qualunque punto del filo e vediamo quanta carica passa nel tempo dt. Quanta carica, non quante cariche, ogni particella porta una carica.

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{dq}{dt}}}$

La carica q si misura in Coulomb, il tempo in secondi, l’intensità di corrente in Coulomb/secondo che viene chiamato Ampere, il simbolo è A. L’Ampere, nel sistema internazionale S.I. viene presa come grandezza fondamentale.

Valutiamo ora quanta carica passa attraverso una sezione dS del filo nel tempo dt

Modulo della densità di corrente

$\displaystyle{\mathbf{|\overrightarrow{\mathbf{J}}|=\frac{dq}{dS\, dt}}}$

La densità di corrente si misura in Coulomb/m² × s =A/m²

Sappiamo che ogni carica ha una velocità V_d, conoscendo la velocità, sappiamo anche quanta carica passa attraverso la superficie nel tempo dt.

Lo spazio percorso da una particella che va a velocità V_d, nel tempo dt è

$\displaystyle{\mathbf{ds=V_d\, dt}}$

Nel tempo dt passano tutte le cariche comprese nel cilindro di basi dS e altezza ds.

Quante cariche stanno nel volume di quel cilindro ?

$\displaystyle{\mathbf{N=n\, ds\, dS}}$

n rappresenta la concentrazione delle cariche. Ogni metallo ha una sua concentrazione. Sostituiamo a ds la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{N=n\, V_d\, dt\, dS}}$

Per avere la quantità di carica basta moltiplicare N per il contributo di carica portato da ogni particella, ossia q.

La carica dq che passa attraverso la superficie ds nel tempo dt è data da :

$\displaystyle{\mathbf{dq=Nq=n\, q\, V_d\, dt\, dS}}$

Mettiamo questo risultato nel modulo della densità di corrente

$\displaystyle{\mathbf{|\overrightarrow{\mathbf{J}}|=\frac{dq}{dS\, dt}=\frac{n\, q\, V_d\, dt\, dS}{dS\, dt}=n\, q\, V_d}}$

La densità di corrente è legata alla velocità di deriva.

Il vettore J sarà, ovviamente

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=n\, q\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_d}}$

Applicando una d.d.p. ad un filo metallico nasce un campo elettrico E, una velocità di deriva V_ddelle cariche e un vettore J

E, V_de J hanno stessa direzione e stesso verso.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\,\Biggl (\frac{L}{V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=n\, q\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_d}}$

Sostituiamo l’espressione di V_d in quella di J

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=\Biggl (\frac{n\, q^2\, L}{2\, m\, V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Torniamo alla realtà dove le cariche mobili sono elettroni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_d=\Biggl (\frac{-e}{2m}\Biggr )\,\Biggl (\frac{L}{V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=n\, (-e)\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_d}}$

Il vettore J risulta positivo perchè V_dè negativo.

Comunque

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=\Biggl (\frac{n\, e^2\, L}{2\, m\, V_T}\Biggr )\,\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

la carica è al quadrato, quindi J è positivo, va come il campo elettrico.

Torniamo alla densità di corrente

$\displaystyle{\mathbf{|\overrightarrow{\mathbf{J}}|=\frac{dq}{dS\, dt}\,\Longrightarrow\, \frac{dq}{dt}=|\overrightarrow{\mathbf{J}}|dS}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I=\int_S|\overrightarrow{\mathbf{J}}|\, dS}}$

Se la sezione dS non è ortogonale al filo

$\displaystyle{\mathbf{I=\int_S\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Questa è proprio la definizione di flusso. L’intensità di corrente è il flusso della densità di corrente attraverso la superficie S.

Se la superficie S è una superficie chiusa, il flusso uscente attraverso di essa fornisce il rapporto tra la carica che lascia il volume racchiuso da S e dt.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{J}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS=-\frac{dq_{int}}{dt}=-\frac{d}{dt}\Biggl (\int_{\tau}\rho\, d\tau\Biggr)=-\int_{\tau}\frac{\partial \rho}{\partial t}\, d\tau}}$

Il segno meno indica che nel volume τ la carica diminuisce nel tempo. Inoltre, nell’ultimo passaggio abbiamo potuto scambiare derivazione e integrazione perchè relative a variabili diverse.

$\displaystyle{\mathbf{\int_S\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS=-\int_{\tau}\frac{\partial \rho}{\partial t}\, d\tau}}$

Applichiamo il teorema della divergenza al primo integrale

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\tau} div\overrightarrow{\mathbf{J}}\,d\tau=-\int_{\tau}\frac{\partial \rho}{\partial t}\, d\tau}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{J}}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}\, d\tau}}$

Questa è l’espressione della conservazione della carica.

Come superficie chiusa prendiamo tutto il nostro filo

Il flusso è solo quello dalle superfici di base, lungo la superficie laterale gli elettroni non possono uscire (è un argomento a parte).

In regime stazionario il contenuto di carica è sempre lo stesso, non c’è variazione di carica nel tempo. In tal caso

$\displaystyle{\mathbf{\int_S\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS=-\frac{\partial \rho}{\partial t}\, d\tau=0}}$

In questo caso

$\displaystyle{\mathbf{\int_S\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{S_1}\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS_1+\int_{S_2}\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS_2=0}}$

Vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{\int_{S_2}\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS_2=-\int_{S_1}\overrightarrow{\mathbf{J}}\cdot\hat{n}\, dS_1}}$

Il flusso di corrente nel filo è nullo, ossia il flusso entrante è uguale al flusso uscente.

In regime stazionario la corrente che entra è uguale a quella che esce.

Finalmente abbiamo concluso l’argomento densità e intensità di corrente elettrica.