Seconda equazione cardinale

Ora abbiamo a che fare con n masse m₁ , m₂ , …… , m_n . Consideriamo la massa j-esima

Abbiamo gia’ affrontato il problema delle forze agenti tra n masse all’inizio dello studio dei sistemi di punti. Sappiamo che per la massetta j-esima possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}_j=\overrightarrow{\textbf{F}}_j^{est}+\overrightarrow{\textbf{f}}_j^{int}}}$ .

Dobbiamo tenere conto anche delle forze interne tra le masse.

Ci mettiamo nel caso piu’ generale in cui il polo O si muove a velocita’ V₀

Per ogni massetta m possiamo applicare la relazione trovata per il caso di un singolo punto materiale e porre

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_j^{est}+\overrightarrow{\textbf{M}}_j^{int}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_j}{dt}+\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

Abbiamo considerato i momenti delle forze esterne e i momenti delle forze interne. Quando abbiamo ricavato la prima equazione cardinale, abbiamo fatto una sommatoria di tutte le forze e quelle interne, f, si semplificavano, vediamo se possiamo fare la stessa cosa anche nel caso di sistemi di punti.

Facciamo allora la sommatoria di tutti i momenti delle singole masse

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{M}}_j^{est}+\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{M}}_j^{int}=\sum_{j=1}^n\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_j}{dt}+\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

Per le forze e’ stato facile vedere che scompaiono dalla sommatoria

f_j,k = – f_k,j

Per i momenti la cosa e’ un po’ piu’ delicata perche’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_j \neq \overrightarrow{\textbf{r}}_k}}$ .

Consideriamo i momenti rispetto al polo O delle due forze f_j,k e f_k,j

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{j,k}^{int}=\overrightarrow{\textbf{r}}_j \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{j,k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{k,j}^{int}=\overrightarrow{\textbf{r}}_k \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{k,,j}}}$ .

Proviamo a sommarli e vediamo se si annullano

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{j,k}^{int}+\overrightarrow{\textbf{M}}_{k,j}^{int}=\overrightarrow{\textbf{r}}_j \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{j,k}+\overrightarrow{\textbf{r}}_k \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{k,,j}=\overrightarrow{\textbf{r}}_j \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{j,k}-\overrightarrow{\textbf{r}}_k \, x \, \overrightarrow{\textbf{f}}_{j,k}=}}$ .

abbiamo sostituito al vettore f_k,j il vettore -f_j,k. Ora mettiamo a fattor comune f_j,k , attenzione e’ un fattor comune a destra, c’e’ un prodotto vettoriale e la proprieta’ commutativa non vale.

$\displaystyle{\mathbf{=(\overrightarrow{\textbf{r}}_j-\overrightarrow{\textbf{r}}_k )\, x\, \overrightarrow{\textbf{f}}_{j,k}}}$ .

r_j – r_k e’ il collegamento tra le due masse ed e’ parallelo a f_j,k e a f_k,j , quindi quel prodotto vettoriale e’ nullo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_{j,k}^{int}+\overrightarrow{\textbf{M}}_{k,j}^{int}=0}}$

Possiamo eliminare il momento delle forze interne

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{M}}_j^{est}=\sum_{j=1}^n\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_j}{dt}+\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

il primo membro lo chiamiamo momento totale esterno

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0^{est}=\sum_{j=1}^n\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_j}{dt}+\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

Nel primo termine a secondo membro possiamo scambiare la sommatoria con la derivata. Nel secondo termine, sempre a secondo membro possiamo portare fuori V₀ dalla sommatoria

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0^{est}=\frac{d}{dt}\,\underline{\sum_{j=1}^n\overrightarrow{\textbf{b}}_j}_{(1)}+\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, \sum_{j=1}^nm_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j}}$ .

La parte indicata con (1) rappresenta il momento totale delle quantita’ di moto b₀ , mentre la sommatoria delle m_jv_j la indichiamo con P_C , quantita’ di moto del centro di massa. Facendo queste sostituzioni otteniamo la seconda equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}+\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}_c}}$ .

Facciamo ora attenzione ad una cosa molto importante per gli esercizi, se, come spesso accade possiamo scegliere noi il polo, quindi il punto rispetto a cui calcolare i momenti, prendiamolo in modo che il polo sia fermo. In tal caso

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}_c=0}}$ .

C’e’ anche un altro modo per annullare quel termine, basta prendere il polo coincidente con il centro di massa. Infatti in tal caso V₀ divente la velocita’ del centro di massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}_c=\overrightarrow{\textbf{v}}_0\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_c=\overrightarrow{\textbf{v}}_c\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_c=0}}$ .

Se ci mettiamo in questi casi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_0^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_0}{dt}}}$ .

La derivata rispetto al tempo del momento della quantita’ di moto rispetto ad un punto fisso e’ pari al momento totale delle forze esterne agenti sul sistema calcolato rispetto allo stesso punto fisso.

Rimane da affrontare la parte piu’ importante per gli esercizi sui momenti, dobbiamo vedere cosa succede per un sistema in rotazione.

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