Forze elastiche

Le forze elastiche sono forze che si originano nella deformazione dei corpi. Tutti i corpi sono elastici, quindi deformabili. Se premo su di un oggetto causo una deformazione nella sua struttura, se tolgo la sollecitazione l’oggetto cerca di tornare alla conformazione originale, ossia all’equilibrio. Se la sollecitazione e’ troppo grande l’oggetto si rompe e non e’ più possibile tornare alla situazione iniziale. In questo capitolo studiamo il caso di deformazione elastica, ossia quando e’ possibile tornare alla condizione iniziale. Lo studio delle deformazioni e’ argomento di un capitolo a parte diamo ora qualche concetto che ci tornera’ utile per questo studio.

Consideriamo una molla

La molla e’ a riposo, non soggetta ad alcuna forza. L₀ e’ la lunghezza della molla a riposo. Se allunghiamo la molla, ai suoi estremi si sviluppano due forze F_A e F_B che tendono a riportare la molla nella posizione di equilibrio, ossia alla sua lunghezza iniziale L₀

L’allungamento della molla risulta essere

ΔL = L – L₀ 

Piu’ allungo la molla e maggiori risultano essere le due forze F_A e F_B, quindi queste forze sono proporzionali all’allungamento. Esse inoltre sono uguali in modulo

F_A = F_B = F_el = K ΔL    dove F_el e’ detta forza elastica

Possiamo parlare di una forza comune F_el ossia possiamo considerare F_A = F_B perche’ consideriamo la molla di massa trascurabile, infatti in questo caso

F_A + F_B = m a = 0   ⇒  F_A = –  F_B       

K e’ detta costante elastica della molla e si misura in N / m. Se invece di allungarla la comprimiamo

le forze agli estremi della molla avranno verso opposto a quello di prima perche’ tendono sempre a riportare la molla alla conformazione originale. Questa volta ΔL e’ una compressione. Anche in questo caso vale la legge di Hooke

F_A = F_B = F_el = K ΔL 

Tutto questo e’ valido nel caso elastico, ossia quando l’oggetto sollecitato puo’ tornare all’equilibrio una volta tolta la sollecitazione.

Se utilizziamo piu’ di una molla possiamo avere diverse configurazioni

Configurazione parallela

Le due molle hanno, ovviamente la stessa lunghezza a riposo, L₀, ma ogniuna ha la sua costante elastica K

 

Spostiamo M_B verso destra. Le due molle sviluppano le forze F₁ e F₂ ai loro estremi, tutte queste forze tendono a riportare la molla all’equilibrio, ossia alla lunghezza originale L₀

Per la legge di Hooke queste forze sono proporzionali all’allungamento

F₁ = K₁ ΔL 

F₂ = K₂ ΔL

Se sommo le forze ottengo F₁ + F₂ = ( K₁ + K₂) ΔL

Ci domandiamo ora se possiamo sostituire alle due molle un’unica molla di costante elastica da determinare.

Per questa unica molla F = K_p ΔL

La forza e’ la forza totale quindi F₁ + F₂

ΔL e’ sempre lo stesso delle due molle

Allora K_p non e’ altri che K₁ + K₂

A due molle poste in parallelo, posso sostituire una sola molla di costante elastica uguale alla somma delle costanti elastiche delle due molle.

Configurazione serie

 

Quello tra le due molle, la I, non e’ una massa, e’ un punto intermedio, lo usiamo come riferimento per gli allungamenti. In quel punto non c’e’ nulla, non c’e’ nessuna massa (altrimenti cambia tutto come vedremo).

Spostiamo la massa M_B

Dalla figura vediamo che ΔL₁ e’ l’allungamento che compete alla prima molla e ΔL e’ l’allungamento complessivo che compete ad entrambe le molle ed e’ pari a ΔL₁ + ΔL₂. Nascono le forze F₁ legate all’allungamento L₁ e le forze F₂ legate all’allungamento della seconda molla. Nel punto I ci sono due forze che si contrastano e questo punto verra’ accelerato, ma dato che la massa e’ nulla per il punto I possiamo scrivere ∑F = m a = 0 ⇒ F₁ = F₂
Allora sulle molle c’e’ un’unica forza F, visto che sono tutte uguali. Possiamo anche in questo caso sostituire al posto delle due molle un’unica molla di costante elastica da determinare ?

         F = Ks ΔL

 

Dato che sulle due molle vige un’unica forza posso porre

.

.

Per l’unica molla e’

.

Ma ΔL = ΔL₁ + ΔL₂ quindi

.

Per la configurazione serie si sommano i reciproci delle costanti elastiche.

Vediamo una configurazione particolare

 

 

A prima vista sembra una configurazione serie, pero’ in quella configurazione nel punto centrale non c’era nulla, ora invece e’ presente una massa M_A e questo cambia completamente le cose. Per studiare questa configurazione prendiamo la massa M_A e spostiamola ad esempio verso destra.

La prima molla si estende e la seconda si comprime, abbiamo quindi un’estensione e una compressione. ΔL e’ lo spostamento subito dalla massa, esso e’ un’estensione per la prima molla e una compressione per la seconda. Le forze che nascono, F₁ e F₂ hanno lo stesso verso perche’ la prima tende a comprimere la molla che si e’ allungata, la seconda tende a estendere la molla che si e’ compressa. Applichiamo la legge di Hooke alle due molle

F₁ = K₁ ΔL

F₂ = K₂ ΔL       il ΔL e’ lo stesso per le due molle

Queste due forze sono applicate alla stessa massa quindi le posso sommare

F₁+ F₂ = ( K₁ + K₂ )ΔL

K₁ + K₂ rappresenta la costante elastica equivalente che avrebbe un’unica molla messa al posto delle due.

Applicando la legge di Hooke alla molla

F = K ΔL

dove K e’ K₁ + K₂ = K_p

 

ne deduciamo che la configurazione non e’ serie, ma parallela.

Per decidere se una configurazione di molle e’ serie o parallela bisogna spostare la massa, vedere come si comportano le forze e trovare poi la costante elastica complessiva.

Dalla prossima lezione si entra nella parte veramente complessa, ponete grande attenzione, iniziamo lo studio delle oscillazioni.

Vai a Oscillazioni libere in orizzontale