Raccolta esercizi Cinematica

Sei nella raccolta esercizi di cinematica, qui troverai 26 esercizi messi in ordine di difficoltà.

Ricorda che gli esercizi di cinematica, al pari di tutti i tipi di esercizi, sono fondamentali per passare lo scritto.

Esercizio 1

Un punto materiale si muove lungo l’asse x con legge oraria

v(t) = v₀ + a t

con v₀ = 2 m/s e a = 9,81 m/s² .

All’istante t = 0 il punto materiale si trova in x = 2 m. Determinare :

Dove si trova il punto materiale al tempo t = 1 s
Il tempo in cui raggiunge la posizione x = 4 m

Una volta letto bene il testo ci facciamo un disegno con tutti i particolari.

Prima domanda : conosciamo come varia v(t) nel tempo, per risalire allo spazio basta integrare la velocità, infatti :

$\displaystyle{v =\frac{dx}{dt}}$

per trovare lo spazio separiamo le variabili

$\displaystyle{dx = v dt}$

e poi integriamo

$\displaystyle{\int_{x_0}^{x}\,dx=\int_{t_0}^{t}\, v\,dt}$

Ovviamente ogni integrale ha i suoi estremi di integrazione perchè ognuno ha un suo dominio di integrazione. Il primo è nel dominio di x, il secondo di t.

Sostituiamo a v(t) la sua espressione

$\displaystyle{\int_{x_0}^{x}\,dx=\int_{t_0}^{t}\,(v_0 + at)\,dt}$

Il primo integrale è immediato, il secondo lo possiamo dividere in due integrali

$\displaystyle{x -x_0=\int_{t_0}^{t}\,v_0\,dt+\int_{t_0}^{t}\, at\,dt}$

l’accelerazione è costante e può essere portata fuori dal segno di integrale

$\displaystyle{x -x_0=\int_{t_0}^{t}\,v_0\,dt+a\int_{t_0}^{t}\, t\,dt}$

Ora possiamo risolvere con estrema semplicità

$\displaystyle{x-x_0=v_0 t+\frac{1}{2}at^2}$

La scriviamo meglio

$\displaystyle{x =x_0 +v_0 t+\frac{1}{2}at^2}$

Probabilmente ve la ricordavate a memoria, ma come vedete, non serve sapere le cose a pappardella, è molto meglio capirle.

Questa volta non possiamo porre pari a zero nè lo spazio iniziale, nè la velocità iniziale dato che hanno un valore. Ponendo t = 1 s troviamo lo spazio

x = 2 +2 x 1 + 9,81/2 x 1² = 8,9 m

Passiamo alla seconda domanda. Per avere il tempo impiegato a raggiungere la posizione x = 4 m basta imporre x = 4 nell’equazione dello spazio

$\displaystyle{4 =x_0+ v_0 t+\frac{1}{2}at^2}$

E’ un’equazione di secondo grado, ci sostituiamo i valori numerici e la risolviamo

$\displaystyle{\frac{1}{2} 9,81t^2+2t-2=0}$ .

$\displaystyle{t=\frac{-2\pm\sqrt{4+39,24}}{9,81}}$

Questa ci dà due soluzioni, una negativa che scartiamo e una positiva

t = 0,466 s che è la soluzione cercata.

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