Forze su correnti in un campo magnetico uniforme

Per studiare le forze su correnti in un campo magnetico uniforme, dalla singola carica (vedi forze tra cariche in moto) passiamo al flusso di corrente, ossia tante cariche in movimento.

Questo è il nostro tratto di filo conduttore immerso nel campo di induzione B uniforme. Il vettore B, così disegnato risulta uscente dal video.

Un campo magnetico di questo tipo potrebbe essere quello che si genera tra i poli di una calamita ad esempio a forma di ferro di cavallo.

La corrente è formata da tanti portatori di carica che continuiamo a considerare positiva, anche se oramai sappiamo (Effetto Hall) che sono cariche negative.

Queste cariche si spostano alla velocità v_ddi deriva verso l’alto. Essendo in movimento in un campo magnetico, risentono della forza di Lorentz.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}_d\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Ogni carica è sottoposta alla forza di Lorentz

Il verso della forza è dato dalla regola della mano destra (vista svariate volte).

Vogliamo contare quante particelle ci sono nel tratto di filo dL

$\displaystyle{\mathbf{N=nd\tau}}$

N è il numero delle particelle, n è la concentrazione, dτ è il volume

$\displaystyle{\mathbf{N=nd\tau=n\, S\, dL}}$

La forza di Lorentz che agisce su tutto il volume sarà N volte quella agente sulla singola carica.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{Lt}=N\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=n\, S\, dL\, q\, \overrightarrow{\mathbf{v}}_d\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Dobbiamo ricordare l’espressione della densità di corrente

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}=n\, q\,\overrightarrow{\mathbf{v}}_d}}$

La forza totale diventa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{Lt}=(\overrightarrow{\mathbf{J}} S)dL\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Il prodotto JS è l’intensità della corrente, è I cheè uno scalare. Se mettiamo I al posto di JS come la mettiamo con il prodotto vettoriale ?

Associamo a dL il vettore dL che è diretto come la velocità di deriva. Teniamo conto che dL ha una direzione e un verso oltre che una lunghezza.

$\displaystyle{\mathbf{N\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Questa è la seconda equazione di Laplace, essa nasce dalla forza di Lorentz applicata ad una corrente.

Confrontiamo la forza di Lorentz nel caso della singola carica con quello di tante cariche, cioè della corrente.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}_d\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{dF}}_L=I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Per la singola carica l’elemento sorgente o quello che subisce il campo magnetico è qv_d, nel caso di correnti è I dL

Facciamo un attimo un passo indietro

Le cariche in moto creano un campo magnetico

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\,\Bigl (q\overrightarrow{\mathbf{v}}\Bigr )\times \Biggl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )}}$

Le cariche in moto sentono il campo magnetico

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}_d\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Se abbiamo un tratto di filo dove scorre la corrente I , al posto di qv mettiamo I dL

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\,\Bigl (I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\Bigr )\times \Biggl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Nella prossima lezione, dalle forze su correnti in un campo magnetico uniforme, passiamo alle forze sui circuiti.