Formule di addizione e sottrazione

In questa lezione vediamo le formule di addizione e sottrazione del seno, del coseno, della tangente e della cotangente.

Formula di sottrazione del coseno

Consideriamo due archi α e β e la loro differenza α – β

Il punto P è l’estremo dell’arco α , Q è l’estremo dell’arco β e D lo è di α-β. Il punto A è l’origine degli archi.

Scriviamo le coordinate di tutti questi punti.

A(0,1)

P(cosα , senα)

Q(cosβ , senβ)

D(cos(α-β) , sen(α-β))

Notiamo che le corde PQ e DA sono uguali perché sottendono archi uguali (α-β). Scriviamo allora le lunghezza delle due corde, tramite la relazione che da la distanza tra due punti note le coordinate, e poi le uguagliamo.

$\displaystyle{\mathbf{\overline{PQ}^2=(\cos\alpha -\cos\beta )^2+(\sin\alpha -\sin\beta )^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overline{DA}^2=[\cos (\alpha -\beta -1 ]^2+\sin^2(\alpha - \beta)}}$

Sviluppiamo i quadrati

$\displaystyle{\mathbf{\overline{PQ}^2=\cos^2\alpha +\cos^2\beta -2\cos\alpha \cos\beta +\sin^2\alpha +\sin^2\beta -2\sin\alpha \sin\beta}}$

Ricordando la relazione fondamentale si ha

$\displaystyle{\mathbf{sen^2\alpha +\cos^2\alpha =1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{sen^2\beta +\cos^2\beta =1}}$

Infine

$\displaystyle{\mathbf{\overline{PQ}^2=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta )}}$

Sviluppando nello stesso modo DA²otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\overline{DA}^2=2-2(\cos (\alpha - \beta)}}$

Uguagliando le due espressioni otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\cos (\alpha - \beta )=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta }}$

Questa è la formula di sottrazione del coseno.

Formula di addizione del coseno

Sfruttiamo quella di sottrazione ponendo

$\displaystyle{\mathbf{\alpha + \beta =\alpha -(-\beta)}}$

Allora possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{\cos (\alpha +\beta )=\cos [\alpha -(-\beta)]=\cos\alpha\cos (-\beta) +\sin\alpha\sin (-\beta)}}$

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\cos (-\beta )=\cos\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin (-\beta )=-\sin\beta}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\cos (\alpha +\beta )=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta }}$

Questa è la formula di addizione del coseno.

Formula di sottrazione del seno

La possiamo ricavare da quella di addizione del coseno, infatti sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\sin\alpha=\cos\Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cos\alpha=\sin\Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )}}$

allora il sen(α-β) lo possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\sin(\alpha -\beta )=\cos\Bigl [\frac{\pi}{2}-(\alpha -\beta)\Bigr ]=\cos \Bigl [\Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )+\beta\Bigr]}}$

Ora applichiamo la formula del coseno

$\displaystyle{\mathbf{\sin(\alpha -\beta )=\cos \Bigl [\Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )+\beta\Bigr]=\cos \Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )\cos\beta-\sin \Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha\Bigr )\sin\beta}}$

Sostituiamo a cos(π/2-α) il senα e a sen(π/2-α) il cosα

$\displaystyle{\mathbf{\sin(\alpha -\beta )=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha \sin\beta}}$

Questa è l formula di sottrazione del seno.

Formula di addizione del seno

Per trovare sen(α+β) basta porre

α+β = α-(-β)

$\displaystyle{\mathbf{\sin(\alpha +\beta )=\sin [\alpha - (-\beta )]=\sin\alpha\cos (-\beta)-\cos\alpha \sin (-\beta)}}$

Dato che

$\displaystyle{\mathbf{\cos (-\beta)=\cos\beta \,\, e\,\, \sin (-\beta)=-\sin\beta}}$

Otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\sin(\alpha +\beta )=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha\sin\beta}}$

Che è la formula cercata.

Formule di addizione e sottrazione della tangente

Si ricavano molto semplicemente, basta ricordare che la tangente è il rapporto tra seno e coseno. Dobbiamo però porre delle condizioni

$\displaystyle{\mathbf{\alpha \,\, e\,\, \beta \neq \frac{\pi}{2}+K\pi\,\, e \,\, \alpha +\beta \neq \frac{\pi}{2}+K\pi}}$

Che sono i valori proibiti per la tangente e quelli nei quali si annulla il cos(α+β).

$\displaystyle{\mathbf{\tan (\alpha + \beta )=\frac{\sin (\alpha + \beta )}{\cos (\alpha + \beta )}=\frac{\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta}{\cos \alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta}}}$

Ora dividiamo numeratore e denominatore per cosα cosβ che è ≠ 0 per le posizioni fatte prima

$\displaystyle{\mathbf{\tan (\alpha + \beta )=\cfrac{\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos \alpha\cos\beta}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\cfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}}}$

Da cui si ottiene (semplificando ciò che si può e sostituendo ai rapporti seno su coseno le relative tangenti)

$\displaystyle{\mathbf{\tan (\alpha + \beta )=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}}$

Per l formula di sottrazione si opera nello stesso modo, solo che avremo α-β

$\displaystyle{\mathbf{\tan (\alpha - \beta )=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}}$

Per la cotangente ?

Faremo semplicemente coseno su seno, ma in modo identico a prima.

$\displaystyle{\mathbf{\cot (\alpha + \beta )=\frac{\cot\alpha\cot\beta -1}{\cot\alpha + \cot\beta}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cot (\alpha - \beta )=\frac{\cot\alpha\cot\beta +1}{\cot\beta -\cot\alpha}}}$

Prossima lezione Formule di duplicazione