Esercizi sui fluidi

Esercizi sulla statica e dinamica dei fluidi dai più semplici ai più complessi.

Esercizio 1

Una pressa idraulica è costituita da due parti in comunicazione di sezioni rispettive S₁=5 cm² e S₂ = 200 cm² . Essa è riempita di acqua la cui densità è ρ = 1 g/cm³ . Nella pressa possono scorrere, a tenuta perfetta e senza attrito, due stantuffi di massa m₁ = 15 g e m₂ = 10³ g. Calcolare :

a) La differenza di livello del liquido nei due rami .

b) Il carico che occorre porre sullo stantuffo 1 affinchè il liquido venga a trovarsi alla stessa quota nei due rami.

c) La forza che sollecita lo stantuffo 2 per una sollecitazione unitaria sullo stantuffo 1.

Iniziamo con il disegnarci quanto letto

Dato che il liquido è lo stesso nei due rami, il livello di pressione è uguale per tutte le aureole di superficie alla stessa quota.

Dal lato 1 la pressione è quella dovuta al peso dello stantuffo più quello della colonna di acqua. In generale

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{F}{S}}}$

La forza peso è

$\displaystyle{\mathbf{F_G=m_1\, g}}$

Non la indichiamo con P per non confonderla con la pressione p. La pressione risulta

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{m_1\, g}{s_1}}}$

La pressione dovuta alla colonna di acqua alta h₁ è

$\displaystyle{\mathbf{p=\rho\, g h_1}}$

Abbiamo applicato la legge di Stevino.

In totale

$\displaystyle{\mathbf{p_1=\frac{m_1\, g}{s_1}+\rho\, g \, h_1}}$

Analogamente

$\displaystyle{\mathbf{p_2=\frac{m_2\, g}{s_2}+\rho\, g \, h_2}}$

Dato che p₁ = p₂

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m_1\, g}{s_1}+\rho\, g \, h_1=\frac{m_2\, g}{s_2}+\rho\, g \, h_2}}$

Togliamo g che è comune a tutti

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m_1}{s_1}+\rho\, h_1=\frac{m_2}{s_2}+\rho \, h_2}}$

Ce la sistemiamo

$\displaystyle{\mathbf{\rho\, (h_1-h_2)=\frac{m_2}{s_2}\, -\, \frac{m_1}{s_1}}}$

Possiamo ora ricavarci h₂ – h₁

$\displaystyle{\mathbf{h_2-h_1=\frac{1}{\rho}\biggl(\frac{m_2}{s_2}\, -\, \frac{m_1}{s_1}\biggr)}}$

Visto che tutti i dati sono in cm e grammi, li teniamo così e alla fine portiamo in metri.

$\displaystyle{\mathbf{h_2-h_1=1 \biggl(\frac{10^3}{200}\, -\, \frac{15}{5}\biggr)=2\, cm =0,02\, m}}$

Passiamo al punto b)

Dobbiamo trovare la nuova m₁ tale da avere h₁ = h₂. Imponiamo sempre che p₁ = p₂ , tenendo conto però che h₁ = h₂ = h

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m_1\, g}{s_1}+\rho\, g\, h=\frac{m_2\, g}{s_2}+\rho\, g\, h}}$

Eliminiamo i due ρ g h che sono uguali e semplifichiamo g

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m_1}{s_1}=\frac{m_2}{s_2} \,\Longrightarrow \, m_1=\frac{s_1}{s_2}\, m_2=\frac{5}{200}\, 10^3=25 g=0,025kg}}$

Tocca al punto c)

Sollecitazione unitaria vuol dire F₁ = 1 N

Dato che il livello di pressione è lo stesso, la pressione su S₁ deve essere uguale alla pressione su S₂(Principio di Pascal : una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità)

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_1}{s_1}=\frac{F_2}{s_2}\, \Longrightarrow F_2=\frac{s_2}{s_1}\, F_1=\frac{200}{5}=40N}}$

Esercizio 2

Sappiamo che la pressione atmosferica vale p₀ = 1,013 10⁵ Pa. All’avvicinarsi di un temporale si osserva, in un barometro a mercurio, una diminuzione Δh = 20 mm dell’altezza della colonna di mercurio (Hg). Determinare il nuovo valore di pressione atmosferica. ( ρ_Hg = 13590 kg/m³)

Con p_a indichiamo la pressione atmosferica in presenza del temporale.

La pressione nel punto A è quella atmosferica p_a . La pressione nel punto B è uguale a quella nel punto A perchè sono punti alla stessa quota.

Applichiamo la legge di Stevino nel punto B

$\displaystyle{\mathbf{p_B=p_0+\rho\, g\, h}}$

In questo caso la pressione atmosferica è zero perchè sopra la colonna di mercurio c’è il vuoto

$\displaystyle{\mathbf{p_B=\rho\, g\, h}}$

Dato che p_A = p_B

$\displaystyle{\mathbf{p_A=p_0+\rho\, g\, h}}$

Da questa ci calcoliamo h

$\displaystyle{\mathbf{h=\frac{p_A}{\rho_{Hg}\, g}=760mm\, Hg}}$

Questa è l’altezza della colonna di mercurio in condizione normali. La perturbazione causa una depressione alla quale corrisponde una diminuzione di h.

$\displaystyle{\mathbf{p_A=\rho_{Hg}\, g\, (h-\Delta h)}}$

Mettiamo in evidenza h

$\displaystyle{\mathbf{p_A=\rho_{Hg}\, g\, h \biggl(1-\frac{\Delta h}{h}\biggr)}}$

Il termine ρ_Hg g h è la pressione atmosferica

$\displaystyle{\mathbf{p_A=p_0\biggl((1-\frac{\Delta h}{h}\biggr)}}$

Mettiamo i dati

$\displaystyle{\mathbf{p_A=1,013\, 10^5\biggl(1-\frac{20\, 10^{-3}}{760\, 10^{-3}}\biggr)= 0,98\, 10^5\, Pa}}$

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