Moto uniformemente accelerato

In questo moto uniformemente accelerato e rettilineo, quindi che si svolge su di un asse, la velocita’ non e’ costante, ma varia nel tempo, non vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali. Quello che e’ costante e’ l’accelerazione, o la decelerazione se il moto e’ decelerato invece che accelerato.

Per lo studio di questo moto partiamo da quello che sappiamo, ossia che l’accelerazione e’ costante.

$\displaystyle{\mathbf{a(t) = \frac{dv}{dt} = a_0 = costante}}$

Ricordiamo che il pedice ₀ sta’ ad indicare che la grandezza e’ costante.

Per trovare la velocita’ separiamo le variabili

$\displaystyle{\mathbf{a_0 dt = dv}}$

e integriamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t} a_0\,dt = \int_{v_0}^{v(t)}\,dv}}$

Il primo integrale ha t₀ e t come estremi di integrazione perche’ e’ nel dominio del tempo ( ha dt ). Il secondo ha v₀ e v come estremi perche’ e’ in dv. Al tempo t₀ la velocita’ e’ v₀ e al tempo t la velocita’ e’ v(t).

Risolviamo gli integrali

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t} a_0\,dt = v(t) - v_0}}$

Dato che a₀ e’ costante la posso portare fuori dall’integrale

$\displaystyle{\mathbf{a_0\int_{t_0}^{t}\,dt = v(t) - v_0}}$

a₀ ( t – t₀ ) = v(t) – v₀

e finalmente abbiamo la velocita’ all’istante t

v(t) = v₀ + a₀ ( t – t₀ )

Un po’ piu’ complesso e’ trovare lo spazio percorso perche’ debbo integrare nuovamente, procediamo un passo per volta. La velocita’ e’ la derivata dello spazio nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{dx}{dt}}}$

la velocita’ la conosciamo, l’abbiamo trovata un attimo fa’

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{dx}{dt} = v_0 + a_0 ( t- t_0 )}}$

Separiamo le variabili

$\displaystyle{\mathbf{dx = [ v_0 + a_0 ( t - t_0 ) ] dt}}$

Ora integriamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x(t)}\,dx = \int_{t_0}^{t} [ v_0 + a_0 ( t - t_0 ) ]\,dt}}$

Dividiamo il secondo integrale in due

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x(t)}\,dx =\int_{t_0}^{t}v_0\,dt+\int_{t_0}^{t}a_0( t - t_0)\,dt}}$

I primi due integrali sono molto semplici

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x(t)}\,dx = x(t) - x_0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t}v_0\,dt = v_0( t - t_0 )}}$

Vediamo il terzo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t}a_0( t - t_0)\,dt}}$

Operiamo un cambiamento di variabile, ponendo z = t – t₀ ⇒ dz = dt. Per t = t₀ si ha z = 0, quindi

$\displaystyle{\mathbf{\int_{0}^{z} z\,dz = \frac{z^2}{2}=\frac{(t - t_0)^2}{2}}}$

Riunendo il tutto

$\displaystyle{\mathbf{x(t) - x_0 = v_0 (t - t_0) + \frac{1}{2}a_0 (t - t_0)^2}}$

E finalmente, lo spazio percorso

$\displaystyle{\mathbf{x(t) = v_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{1}{2}a_0 (t - t_0)^2}}$

In definitiva le equazioni del moto uniformemente accelerato sono :

a(t) = a₀ che rappresenta una retta orizzontale

V(t) = V₀ +a₀ (t – t₀) che rappresenta una retta di pendenza a₀

$\displaystyle{\mathbf{x(t) = v_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{1}{2}a_0 (t - t_0)^2}}$ che rappresenta una parabola

Vediamone la rappresentazione

lo spazio percorso aumenta sempre di piu’ nel tempo. L’area sottesa da a₀ e’ pari alla variazione di velocita’, infatti a₀(t – t₀) = v(t) – v₀ .

a₀ , v₀ , t₀ sono le condizioni iniziali, che normalmente sono date nel problema.

Se l’accelerazione e’ negativa il moto e’ ritardato, la velocita’ decresce nel tempo e la parabola che rappresenta lo spazio percorso ha la concavita’ verso il basso. Ovviamente a₀ si trova sotto l’asse delle ascisse.

Notare che se t₀ = 0, oppure se posso porlo uguale a zero, le equazioni si semplificano

$\displaystyle{\mathbf{x(t) = v_0 + v_0 t +\frac{1}{2}a_0 t^2}}$

V(t) = V₀ +a₀ t

a(t) = a₀

e le curve si attaccano all’asse delle ordinate.

Ricapitolando : lo studio parte dall’accelerazione che sappiamo essere costante, per integrazione troviamo la velocità a meno di una costante arbitraria v₀ , che è la velocità iniziale. Per passare dalla velocità alla posizione integro ancora ed ho la costante x₀, posizione iniziale.

x₀ e v₀ sono dette condizioni iniziali.

Dalla prossima lezione iniziamo la Caduta dei gravi