Archi associati

Per archi associati intendiamo due archi la cui somma algebrica assume particolari valori.

Archi supplementari

Due angoli α e β sono supplementari se la somma delle loro misure in radianti è uguale a π.

α + β = π

Studiamo bene la figura. La misura dell’arco AP’ è supplementare di AP, la loro somma è π.

P e P’ sono simmetrici rispetto all’asse Y, ciò significa che P e P’ hanno stessa ordinata e ascissa opposta.

P(cosα , senα)

P'(-cosα , senα)

Questa simmetria vale qualunque sia la misura dell’angolo α.

Se P e P’ sono supplementari, le coordinate di P’ le possiamo anche esprimere così

P'(cos(π-α) , sen(π-α))

Quindi, qualunque sia l’angolo α risulta

cos(π-α) = -cosα

sen(π-α) = senα

Ricavare le analoghe relazioni per tangente e cotangente è molto semplice

$\displaystyle{\mathbf{\tan(\pi -\alpha)=\frac{\sin (\pi -\alpha)}{\cos (\pi - \alpha)}=\frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\tan\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cot(\pi -\alpha)=\frac{\cos (\pi -\alpha)}{\sin (\pi - \alpha)}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\cot\alpha}}$

Archi opposti

Archi opposti Questa volta abbiamo due angoli opposti α e -α.

Vediamo le coordinate dei punti P e P’

P(cosα , senα)

P'(cosα , sen(-α))

Dato che P e P’ sono simmetrici rispetto all’asse x

cos(-α) = cosα

sen(-α) =-senα

Operando come prima si trova molto semplicemente

tg(-α) = -tgα

ctg(-α) = -ctgα

Archi le cui misure differiscono di π

I punti P e P’ sono estremi di uno stesso diametro, quindi risultano simmetrici rispetto all’origine.

Sia l’ascissa che l’ordinata di P’ sono opposte a quelle di P.

P(cosα , senα)

P'(-cosα , -senα)

Le coordinate di P’ le possiamo esprimere anche come

P'(cos(π+α) , sen(π+α))

Da cui ricaviamo che

cos(π+α) = -cosα

sen(π+α) = -senα

Di conseguenza

tg(π+α) = tgα

ctg(π+α) = ctgα

Archi esplementari

La somma delle loro misure è 2π

I punti P e P’ hanno stessa scissa e ordinata opposta.

cos(2π-α) = cosα

sen(2π-α) = -senα

Per la tangente e la cotangente basta tenere conto delle loro espressioni in funzione del seno e del coseno

tg(2π-α) = -tgα

ctg(2π-α) = -ctgα

Angoli complementari

Due angoli sono complementari quando la loro somma in radianti è uguale a π/2.

La misura dell’arco AP è α, quella di AP’ è π/2 – α.

I due triangoli OHP e OKP’ sono uguali perché hanno stessa ipotenusa (che è pari a 1) e uguali angoli.

Possiamo allora scrivere

KP’ = OH e OK = HP

ossia

sen(π/2 – α) = cosα

cos(π/2 – α) = senα

tg(π/2 – α) = ctgα

ctg(π/2 – α) = tgα

Prossima lezione Formule di addizione e sottrazione