Energia cinetica e teorema

Consideriamo una massa M ed una forza ad essa applicata. Se la forza produce lavoro, quindi se L > 0, si ha un aumento di velocita’. Questo dovrebbe essere ovvio, visto che la forza produce un’accelerazione, ossia una variazione di velocita’. La variazione di velocita’ ha una conseguenza sull’energia del corpo, prima di vederla definiamo l’energia cinetica.

Definizione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}mV^2}}$ .

Essa viene anche indicata con la lettera T o con la lettera K. Essa e’ legata alla seconda potenza della velocita’ e alla massa. La massa M fa’ capire l’entita’ dell’energia. Stabilito cosa e’ l’energia cinetica possiamo ora dire :

Il lavoro compiuto da tutte le forze agenti su di un corpo causa una variazione di velocita’ ed una conseguente variazione di energia cinetica.

Dovrebbe esse chiaro che l’energia cinetica e’ legata al movimento.

Teorema del lavoro e dell’energia cinetica

Il lavoro compiuto da tutte le forze agenti su di un corpo produce una variazione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{L=\frac{1}{2}mV_2^2-\frac{1}{2}mV_1^2=E_{C2}-E_{C1}=\Delta E_C}}$

Dato che il lavoro produce direttamenta la variazione di energia cinetica, se L si misura in Joule, anche E_C si misura in Joule.

Questo teorema e’ anche noto con il nome di teorema delle forze vive (vive perche’ producono spostamento). Questo teorema va dimostrato e noi lo faremo in due modi diversi perche’ tutti e due sono usati.

Partiamo dal secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}=m\overrightarrow{\textbf{a}}=m\,\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{inoltre\;d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{V}dt\;quindi\,otteniamo}}$

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=\int_{1}^{2}dL=\int_{1}^{2}\overrightarrow{F}_{tot}\cdot d\overrightarrow{S}=\int_{t_1}^{t_2}m\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}\cdot \overrightarrow{V}dt=m\int_{V_1}^{V_2}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{V}}}$

Attenzione agli estremi di integrazione che variano al variare del dominio di integrazione. Cerchiamo ora un modo diverso per esprimere l’ultimo integrale. Per fare questo dobbiamo notare che

$\displaystyle{\mathbf{d\left (\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V}\right )=d\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{V}=2d\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{V}}}$

Quello che abbiamo svolto e’ un differenziale le cui regole sono le stesse della derivazione. Da quella sopra otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{V}=\frac{1}{2}d\left (\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{V}\right )}}$

Il lavoro lo possiamo allora esprimere

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=m\int_{V_1}^{V_2}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{V}=\frac{1}{2}\,m\int_{V_1}^{V_2}d\left (\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{V}\right )=\frac{1}{2}\,m\int_{V_1^2}^{V_2^2}d(V^2)=\frac{1}{2}\,mV_2^2-\frac{1}{2}\,mV_1^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{posto\;E_C=\frac{1}{2}\,mV^2\; si\,ha}}$ .

L_tot = E_C2 – E_C1 = ΔE_C teorema dimostrato

Si poteva procedere in maniera meno rigorosa, arrivati a

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=m\int_{V_1}^{V_2}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{V}}}$

si puo’ considerare come velocita’ una velocita’ media e portarla fuori dal segno di integrale

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=m\overline{V}\cdot\int_{V_1}^{V_2}d\overrightarrow{V}=m\, \frac{\overrightarrow{V}_1+\overrightarrow{V}_2}{2}\int_{V_1}^{V_2}d\overrightarrow{V}=\frac{1}{2}m\,\left (\overrightarrow{V}_1+\overrightarrow{V}_2\right )\cdot\left (\overrightarrow{V}_2-\overrightarrow{V}_1\right )=\frac{1}{2}\, m\left (V_2^2-V_1^2\right )}}$ .

Alla fine non compaioni piu’ i vettori perche’ abbiamo risolto il prodotto scalare.

Vediamo un altro modo spesso usato per dimostrare il teorema

Supponiamo che nell’intervallo di tempo t₂ – t₁ la forza totale che agisce sul punto materiale sia costante e diretta nel verso del moto. Il moto risulta allora rettilineo e uniformemente accelerato e le grandezze cinematiche sono

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}\hspace{0,7cm}v_m=\frac{v_1+v_2}{2}\hspace{0,7cm}\Delta s=v_m\Delta t=\frac{v_1+v_2}{2}\, (t_2-t_1)}}$ .

E il lavoro risulta

$\displaystyle{\mathbf{L=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=m\,a\,\Delta S=\frac{1}{2}\, m\left (V_2-V_1\right )\left(V_1+V_2\right )=\frac{1}{2}\, m\,\left (V_2^2-V_1^2\right )}}$ .

Nel caso generale in cui la forza non e’ costante

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=m\, \frac{d\overrightarrow{V}}{dt}\cdot d\overrightarrow{S}=m\, \frac{d\overrightarrow{V}}{dt}\cdot \overrightarrow{V}dt=\frac{1}{2}\, m\,\frac{dV^2}{dt}\, dt=\frac{1}{2}\, m dV^2=d\left (\frac{1}{2}\, m V^2\right )=dE_C}}$ .

Abbiamo saltato qualche passaggio perche’ abbiamo usato quanto ricavato nella prima dimostrazione.

Integrando la relazione ottenuta

L = E_C2 – E_C1

In definitiva, affinche’ vi sia variazione di energia cinetica in corrispondenza di uno spostamento, occorre che vari l’intensita’ della velocita’, ossia occorre che la forza abbia una componente nella direzione del moto. Se cio’ non avviene il lavoro compiuto dalla forza totale e’ nullo e l’energia cinetica resta inalterata.

Vediamo ora alcuni esempi che ci aiutano anche a capire come affrontare esercizi con considerazioni energetiche.

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