Momento di una spira

Per studiare il momento di una spira, consideriamo una spira rettangolare di lati a e b, immersa in un campo magnetico uniforme.

Iniziamo dal caso in cui la spira ABCD e il vettore induzione magnetica sono perpendicolari. Anche se, in realtà, questo caso lo abbiamo già visto la lezione scorsa forze sui circuiti in un campo magnetico uniforme.

Applichiamo la seconda formula di Laplace

$\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Questa ci dice che una corrente in un campo magnetico subisce una forza magnetica (di Lorentz).

Dobbiamo valutare la forza che agisce su ogni lato della spira. Iniziamo dal lato AB. Per sapere direzione e verso do F_Ldobbiamo applicare la regola della mano destra.

Pollice primo vettore dL, indice secondo vettore B , medio prodotto vettoriale F_L. Il vettore induzione magnetica B è uscente dal video, è verso di voi.

Per trovare F_AB,forza che agisce nel tratto da A a B, dobbiamo integrare dF_Ltra A e B.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{AB}=I\,\int_A^B d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

La corrente I non la dobbiamo integrare perchè lungo un conduttore è costante.

Questa è la forza che troviamo lungo il primo lato.

Questo calcolo va ripetuto per tutti e quattro i lati, dobbiamo fare il prodotto scalare per ogni lato.

Le quattro frecce blù rappresentano le quattro forze. Sappiamo, sempre per la lezione precedente, che esse hanno risultante nulla.

Il campo mafnetico non muove la spira, in nessuna direzione.

Incliniamo la spira

Questa è la spira inclinata di un angolo θ rispetto al campo magnetico uniforme e vista di lato. In alto vediamo il punto A coincidente con B e sotto C coincidente con D. Nel punto in alto la corrente è uscente, in quello in basso è entrante. Abbiamo riportato anche le due forze che agiscono sui lati AB e CD.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{AB}=I\,\int_A^B d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Lungo il tratto AB dL e B sono ortogonali, il prodotto vettoriale è massimo, inoltre l’integrale di dL tra A e B è la lunghezza del tratto, ossia a.

$\displaystyle{\mathbf{F_{AB}=I\, a\, B}}$

Nel tratto CD laforza è uguale ed opposta

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{CD}=I\,\int_C^D d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_{AB}=F_{CD}=I\, a\, B}}$

Sono due forze uguali ed opposte che non stanno sulla stessa retta. Tra di esse c’è una distanza, quindi formano una coppi di forze.

Se disegniamo la linea di azione di F_AB(prolunghiamo la forza)

si vede che c’è un braccio che è pari a bsenθ . b è la lunghezza del tratto AD.

Per il calcolo del momento della coppia di forze, ipotizziamo il polo nel punto C≡D. La forza F_CDnon ha momento, il braccio per lei è nullo. La forza F_ABinvece ha braccio bsenθ e il momento è

$\displaystyle{\mathbf{M=F_{AB}(b\sin\theta)}}$

Il momento è dato dal prodotto forza per braccio. Sostituiamo l’espressione della forza

$\displaystyle{\mathbf{M=I\, a\,b\, B\sin\theta}}$

Questo è il momento meccanico al quale è sottoposta la spira.

Il momento, però è un vettore

Nel nostro caso il momento della spira risulta essere un vettore entrante nel video.

Dobbiamo capire perchè.

$\displaystyle{\mathbf{M=I\, a\,b\, B\sin\theta}}$

Il prodotto a×b è la sezione della spira che chiamiamo S

$\displaystyle{\mathbf{M=I\, S\, B\sin\theta}}$

Introduciamo una nuova grandezza m

$\displaystyle{\mathbf{m=I\, S}}$

m è il momento di dipolo magnetico ed è il prodotto della corrente per la sezione della spira.

Anche questo è un vettore e dobbiamo vettorizzarlo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{m}}=I\, S\,\hat{n}}}$

Il momento di dipolo magnetico ha la direzione e il verso della normale alla spira.

Torniamo al momento meccanico

$\displaystyle{\mathbf{M=I\, S\, B\sin\theta}}$

Questa relazione ha il sapore di un prodotto vettoriale. Il senθ viene proprio dal prodotto vettoriale tra le direzioni di n e di B

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=I\, S\, \hat{n}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=\overrightarrow{\mathbf{m}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Il momento meccanico M lo possiamo vedere come prodotto vettoriale del momento di dipolo magnetico con il vettore induzione magnetica.

m è il momento di dipolo che si viene a creare. M provoca la rotazione della spira.

Ricordate il dipolo elettrico ?( dipolo elettrico )Esso è formato da una carica positiva +q e da una negativa -q poste a distanza δ. Il momento del dipolo elettrico è

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=\overrightarrow{\mathbf{p}}\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Come vedete la situazione è simile. Da un punto di vista magnetico, abbiamo una “carica Nord” e una “carica Sud” distanziate, ossia una piccola calamita.

Una spira percorsa da corrente è equivalente ad una piccola calamita che ha direzione normale alla spira.

Quanto trovato per una spira rettangolare ha, in realtà, validità generale.

Spira circolare

Possiamo parlare, in maniera equivalente, di spira percorsa da corrente o di magnete. Questo è stato dimostrato da Ampere ed è detto teorema di equivalenza di Ampere.

Una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico si comporta come se fosse una calamita.

Rimane da affrontare un ultimo spetto, quello legato all’energia.

Nel caso del dipolo elettrico abbiamo trovato le relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=\overrightarrow{\mathbf{p}}\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Sappiamo che il dipolo elettrico ruota e si porta nella condizione di minore energia.

Il dipolo elettrico si porta nella posizione cui compete la minore energia.

Nel caso della spira la coppia che si esercita è

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=\overrightarrow{\mathbf{m}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Se vogliamo cambiare l’orientazione della spira (del momento magnetico) dobbiamo compiere un lavoro. Consideriamo, allora, un’energia potenziale meccanica associata alla posizione della spira.

$\displaystyle{\mathbf{dU=dL=-dL_M}}$

Questa rotazione dθ porta ad un aumento di energia meccanica.

$\displaystyle{\mathbf{M=mB\sin\theta}}$

Il verso del momento M è quello che tende ad allineare m e B.

Se consideriamo un dθ positivo, il lavoro compiuto da M sarà negativo.

$\displaystyle{\mathbf{-dL_M=mB\sin\theta d\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dU=mB\sin\theta d\theta}}$

Per il calcolo dell’energia, come visto svariate volte, poniamo uguale a zero l’energia in una posizione scelta in modo convenzionale. Se prendiamo come riferimento la posizione nella quale m e B sono ortogonali (θ = π/2), l’energia in una qualunque posizione sarà pari al lavoro che deve compiere una forza esterna per portare m da θ = π/2 fino al valore θ.

$\displaystyle{\mathbf{U=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta} mB\sin\theta d\theta=mB\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta}\sin\theta d\theta=-mBcos\theta=-\overrightarrow{\mathbf{m}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U=-\overrightarrow{\mathbf{m}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Anche nel caso della spira abbiamo l’allineamento, questa volta con il campo magnetico.

La spira si allinea con il campo magnetico.

Finiamo la lezione con una piccola chiacchierata che approfondiremo più avanti. Dovrebbe essere chiaro che il magnetismo può essere visto come dovuto a correnti. Esso è trattabile come le correnti che circolano in una spira.

All’interno della materia, invece, a cosa è dovuto il campo magnetico presente in alcuni materiali ? Beh, anche qui abbiamo correnti che circolano in piccolissime spire, sono le correnti atomiche. Elettroni che ruotano intorno al nucleo. Se tutte queste micro correnti danno un contributo coerente, ecco che nasce una corrente che dà luogo ad magnete.

La natura del magnetismo è quella di spire percorse da corrente a livello atomico.

Avete mai provato a dividere in due una calamita?

Quello che ottenete sono due calamite.

Anche se la tagliate tantissime volte, ottenete sempre delle calamite. Mai i due poli separati.

Perchè non è possibile dividere il polo Nord da quello Sud ? Semplicemente perchè non esiste un Nord e un Sud, sono dovuti a correnti atomiche che hanno una nature dipolare.