Conservazione del momento della quantita’ di moto

Affrontiamo questo teorema attraverso un esempio, questa e’ una parte molto importante per gli esercizi di esame.

Consideriamo una giostra in ritazione con velocita’ angolare ω₁. Su di essa ci sono due persone che si tengono l’un l’altro con una corda.

Le forze agenti tra gli elementi del sistema sono forze interne. Se il momento delle forze esterne e’ nullo si conserva il momento della quantita’ di moto perche’

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=\frac{db_a}{dt}=\frac{d(I_a\omega)}{dt}=0}}$ .

b_a = I_a ω

Calcoliamo il momento d’inerzia del sistema

I_sis = I_giostra + I_persone

I_giostra = 1/2 MR² cilindro pieno

I_persona = mR² massa posta a distanza R dall’asse di rotazione

$\displaystyle{\mathbf{I_{sis}=\frac{1}{2}\, MR^2+2mR^2}}$ .

Le due persone, grazie alla corda, si avvicinano l’un l’altro. Le forze sulla corda non ci interessano, sono interne al sistema. Anche gli attriti sulla piattaforma non ci riguardano essendo sempre interni al sistema.

Quando le due persone arrivano al centro della giostra, il momento d’inerzia del sistema diventa

I_sis = 1/2 MR²

questo perche’ la distanza delle due persone dall’asse e’ ora diventata zero. Dato che il momento della quantita’ di moto si conserva

b_a1 = b_a2 ⇒ I_a1 ω₁ = I_a2 ω₂

$\displaystyle{\mathbf{\left (\frac{1}{2}\, MR^2+2mR^2\right )\omega_1=\frac{1}{2}MR^2\omega_2}}$ .

Se il momento d’inerzia e’ diminuito, allora ω aumenta.

Dobbiamo fare una puntualizzazione, se abbiamo un sistema di punti, noi consideriamo il suo centro di massa e li’ pensiamo applicata la forza peso. Il centro di massa di un sistema di punti si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata nel centro di massa e tutte le forze esterne fossero applicate in quel punto. Se allora consideriamo il momento della forza esterna rispetto ad un asse per il CM, il momento della forza peso e’ nullo perche’ non ha braccio.

Se il corpo e’ un corpo esteso possiamo immaginarlo suddiviso in un gran numero di massette su ognuna delle quali agisce la forza di gravita’. Tutte queste forze peso sono equivalenti ad un’unica forza P applicata in quello che e’ chiamato centro di gravita’ o baricentro.

Non e’ difficile capire che, se il campo gravitazionale puo’ essere considerato uniforme, allora CM e baricentro coincidono. In moltissimi problemi pratici dove le dimensioni degli oggetti in considerazione non sono grandi, possiamo ammettere che g, accelerazione di gravita’, sia uniforme e CM e baricentro possono essere considerati coincidenti.

Nel caso della giostra di prima la forza peso e’ allora applicata nel centro della giostra, dove sta’ l’asse di rotazione, quindi il momento dell’unica forza esterna, la forza peso, risulta nullo.

Vediamo un classico esempio per chiarirci meglio le idee

Uno studente e’ seduto su una poltrona girevole attorno ad un asse verticale e tiene in ciascuna mano un peso di 2 kg. La poltrona viene messa in rotazione e lo studente ha le braccia distese tenendo ogni peso a distanza di 1m dall’asse. Ad un certo istante lo studente abbassa le braccia portando i pesi a 10 cm dall’asse di rotazione. Se viene impressa inizialmente una velocita’ angolare di 0,5 giri/s quale sara’ la velocita’ angolare dopo che le braccia vengono abbassate ?. Si trascurino gli attriti e si ponga pari a 5 kg m² il momento d’inerzia dello studente.

Abbiamo un’unica forza esterna presente, la forza di gravita’ che e’ applicata nel centro di massa del sistema, il suo momento rispetto all’asse di rotazione e’ quindi nullo. si conserva la componente del momento angolare secondo questo asse. Possiamo porre

momento angolare iniziale = momento angolare finale

I₁ ω₁ = I₂ ω₂

I_sis = I_studente + I_pesi

$\displaystyle{\mathbf{I_1=\underbrace{5}_{I_{stud}}+\underbrace{2mR^2}_{I\, pesi}=5+2\cdot 2\cdot 1^2=9\, kgm^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I_2=5+2\cdot 2\cdot(0,1)^2=5,04\, kgm^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\omega_2=\frac{I_1}{I_2}\,\omega_1\simeq 0,9\, giri/s}}$ .

Applichiamo quanto visto ad un caso particolarmente importante

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Conservazione del momento della quantita’ di moto

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