Cono di attrito

Vediamo una rappresentazione geometrica di quanto detto sull’attrito nella lezione precedente introducendo il concetto di cono di attrito.

Consideriamo una massa m posta su di un vincolo, tavolo, in quiete.

Se la massa e’ in quiete siamo nel caso statico e il secondo principio della dinamica e’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R_n}+\overrightarrow{A_s}=0}}$ .

La forza peso P e la forza F rappresentano la risultante delle sollecitazioni esterne e le chiamiamo S

La reazione vincolare Rn e la forza di attrito As rappresentano la reazione totale e le chiamiamo R_tot

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}=\overrightarrow{S}\vspace{0,2cm}}}$

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{R_n}+\overrightarrow{A_s}=\overrightarrow{R}_{tot}}}$ .

Il secondo principio lo possiamo allora esprimere come :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{S}+\overrightarrow{R}_{tot}=0\vspace{0,4cm}}}$ .

Abbiamo riportato nella figura le due risultanti.

Dall’equazione di prima possiamo dire che la reazione totale e’ esattamente uguale ed opposta alle sollecitazioni esterne.

Se aumentiamo la forza F aumenta anche la reazione totale fino al suo valore massimo dopo di che entriamo nel caso dinamico.

Dalla figura vediamo che :

$\displaystyle{\mathbf{\tan{\phi_s}=\frac{A_{max}}{R_n}\hspace{0,5cm}}}$ $\displaystyle{\mathbf{.\hspace{0,5cm}A_{max}=\mu_sR_n \Longrightarrow \tan{\phi_s}=\frac{\mu_sR_n}{R_n}=\mu_s\vspace{1cm}}}$ $\displaystyle{\mathbf{\tan{\phi_s}=\mu_s}}$

Quindi μ_s ha un’interpretazione geometrica, combacia con la tangente di φ_s. Mano a mano che aumento le forze esterne, aumenta la reazione totale, ma la tgφ_s rimane sempre la stessa visto che e’ pari a μ_s

Fino a che siamo in queste due aree siamo nel caso statico

al di fuori siamo nel caso dinamico

Dato che la massa puo’ essere spinta da due versi, questo e’ il disegno totale

Se ora passiamo allo spazio tridimensionale tutto questo diventa un cono (cono di attrito) dove dentro siamo nel caso statico e fuori in quello dinamico.

Siamo nel caso statico se le sollecitazioni stanno entro la falda inferiore del cono e le reazioni entro la falda superiore del cono di attrito.

L’angolo φ_s e’ l’angolo di semiapertura del cono di attrito

Vediamo un’applicazione di quanto detto al caso del piano inclinato

Per costruire il cono di attrito si pone l’asse ortogonale al piano inclinato e l’angolo di semiapertura dato da tgφ_s = μ_s

Supponiamo che la forza peso sia l’unica sollecitazione presente. In assenza di attrito sappiamo che la massa scivola sicuramente, l’attrito fa’ aprire il cono con il suo coefficiente μs. Disegnando P, se e’ dentro il cono di attrito siamo nel caso statico, quindi in equilibrio.

In questo caso P e’ dentro il cono quindi tutto e’ fermo. Affinche’ cio’ accada deve essere

α < φ_s ⇒ tgα < tgΦ_s = μ_s ⇒ tgα < μ_s

Per passare dalla condizione statica a quella dinamica possiamo, ad esempio, semplicemente aumentare l’angolo di inclinazione del piano. Se α > Φ_s P e’ fuori del cono di attrito

α > Φ_s ⇒ tgα > tgΦ_s= μ_s ⇒ tgα > μ_s Siamo nel caso dinamico

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Cono di attrito

Nella prossima lezione vediamo la Tensione della fune