Teoria di Drude

La teoria di Drude riguarda il trasporto delle cariche elettriche all’interno dei metalli.

Partiamo da un campo elettrico E, uniforme, presente in una regione dello spazio.

Se in esso poniamo una carica, ad esempio +q, subito viene ad agire una forza

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Dato che la carica q è positiva, la forza risulta nella direzione del campo elettrico. Se F è l’unica forza agente sulla carica, per il secondo principio della dinamica , sicuramente imprime un’accelerazione alla particella.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=q\overrightarrow{\mathbf{E}}=m\overrightarrow{\mathbf{a}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{a}}=\frac{q}{m}\, \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Se il campo elettrico E è uniforme, l’accelerazione risulta costante. Quello che si genera è un moto rettilineo uniformemente accelerato dove, quindi, la velocità aumenta nel tempo.

Per ottenere le velocità dobbiamo integrare l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{\Delta \overrightarrow{\mathbf{V}}=\int\overrightarrow{\mathbf{a}}\, dt=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

ΔV è dato dalla velocità finale meno quella iniziale

$\displaystyle{\mathbf{\Delta \overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V_f}}-\overrightarrow{\mathbf{V_0}}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{ \overrightarrow{\mathbf{V_f}}=\overrightarrow{\mathbf{V_0}}+\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

Quanto vale V₀? Non lo sappiamo. Dentro una struttura le cariche si muovono in continuazione e in tutte le direzioni, sono in fermento, ciò è dovuto alla temperatura. V₀è la velocità termica.

Se quello che ci interessa è il movimento dell’insieme delle cariche, possiamo considerare un valore medio per la loro velocità.

$\displaystyle{\mathbf{< \overrightarrow{\mathbf{V}}(t)>=<\overrightarrow{\mathbf{V_0}}>+\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

Per il campo elettrico E non facciamo nessuna media, lo abbiamo supposto uniforme.

Ora dobbiamo valutare la media vettoriale di V₀. Quanto vale ? E’ zero, è nulla perchè se tante particelle vanno in una direzione, altrettante vanno nella direzione opposta, statisticamente.

$\displaystyle{\mathbf{< \overrightarrow{\mathbf{V}}(t)>=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\, t}}$

La velocità della carica media cresce nel tempo.

Potrebbe sembrare che la velocità aumenta indefinitamente nel tempo, ovviamente non è così.

Nella realtà, la particella si trova dentro la struttura di un metallo, dove sono presenti nuclei fermi e cariche libere. Durante il loro moto, le cariche urtano contro i nuclei ( e non si tratta di urti elastici) è, dopo l’urto, ripartono con velocità nulla.

Lo spazio percorso tra un urto e il successivo, vene chiamato libero cammino medio, mentre il tempo tra un urto e l’altro è indicato con la lettera τ.

Il grafico reale per la velocità media è allora

Dopo un tempo τ la particella urta contro il reticolo del metallo e riparte con velocità nulla. Di nuovo, per t = 2τ, ha un altro urto e così via. Lo spazio percorso è dato dall’area racchiusa dal dente di sega (spezzata in rosso).

La velocità è una funzione che ha un andamento di questo tipo, dopo ogni periodo di tempo τ la velocità si annulla.

Per ottenere la massima velocità raggiunta, basta sostituire, nella relazione della velocità, al posto del tempo generico t, il tempo τ

$\displaystyle{\mathbf{V_{max}=\Biggl (\frac{q}{m}\Biggr )\, E\, \tau}}$

Guardando il grafico della velocità con attenzione vediamo che la particella accelera, poi si ferma, di nuovo accelera e così via, sempre dopo un tempo τ. E’ come se percorresse spazi uguali in tempi uguali, statisticamente. Questo moto non è dissimile ad un moto rettilineo uniforme.

Quello che intendiamo dire è che la particella, se non avesse avuto urti e fosse andata sempre a velocità costante V_d, avrebbe percorso lo stesso spazio.

V_dè detta velocità di deriva.

L’area sottesa da V_dè uguale a quella sottesa dai denti di sega. La velocità di deriva è la velocità equivalente se si assume come moto quello rettilineo uniforme.

La velocità di deriva è la media tra V₀e V_max, quindi

$\displaystyle{\mathbf{V_d=\frac{V_{max}}{2}}}$

Sostituiamo l’espressione di V_max

$\displaystyle{\mathbf{V_d=\Biggl (\frac{q}{2m}\Biggr )\, E\, \tau}}$

E’ come se le cariche andassero tutte alla velocità di deriva, V_d, costante.

In conclusione, dopo lo studio della teoria di Drude, possiamo dire : se prendiamo un filo conduttore e applichiamo una differenza di potenziale ai suoi capi, nasce un campo elettrico E e, per noi, le cariche prendono a muoversi tutte con velocità V_dcostante.