Auto in curva

Vediamo cosa accade ad un’auto quando affronta una curva. Questo e’ un caso tipico e abbastanza ricorrente negli esercizi.

C e’ il centro di curvatura

R e’ il raggio di curvatura

Quando l’auto percorre la curva si presenta la forza centrifuga

Mettiamoci ora a bordo dell’auto, quindi nel sistema non inerziale.

Questa e’ l’auto vista da dietro mentre percorre la curva

F_c e’ la forza centrifuga

La forza di attrito e’ quella tra asfalto e ruote Abbiamo messo A_s e non A_d perche’ analizziamo il moto lungo la direzione laterale dove non vogliamo ci sia movimento.

Lungo l’asse n ci deve essere statica altrimenti andiamo fuori curva. Inoltre, lungo n l’attrito e’ radente, lungo l’asse di marcia e’ invece volvente. Per lo studio utilizziamo gli assi n e z (potete chiamarli come vi pare). Scriviamo le equazioni lungo gli assi

asse z : R_n – P = 0 non c’e’ movimento lungo z ⇒ R_n = P

asse n : A_s – F_c = m a_n = 0 non vogliamo movimento lungo n ⇒ A_s = F_c

Affinche’ l’auto non slitti lateralmente sappiamo che deve essere

A_s ≤ A_smax

A_s = F_c ≤ A_smax = μ_s R_n = μ_s P Da cui ricaviamo :

F_c ≤ μ_s P ricordiamo che F_c = V²/R

$\displaystyle{\mathbf{m\frac{V^2}{R} \leq \mu_smg\hspace{0,4cm} \Longrightarrow \frac{V^2}{R}\leq \mu_sg}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V\leq\sqrt{\mu_s\,g\,R}=V_{max}}}$ .

Questo e’ il valore massimo della velocita’ che possiamo tenere senza uscire dalla curva. Se superiamo la V_max l’attrito non riesce piu’ a compensare la forza centrifuga F_c . La velocita’ massima si abbassa se si abbassa l’attrito, quindi ad esempio se la strada e’ bagnata. La V_max si abbassa anche se si riduce il raggio di curvatura.

Per aumentare la velocita’ massima si puo’ sopraelevare la curva, ossia si rende la curva parabolica.

Prima di studiare questo caso domandiamoci cosa vediamo da un sistema inerziale, ossia dalla strada. Riscriviamo le equazioni lungo z e n

asse z : R_n – P =0

asse n : A_s = m a_n In un sistema inerziale, lungo n vediamo solo l’attrito, F_c non c’e’, quindi e’ la forza di attrito che tiene l’auto in curva

$\displaystyle{\mathbf{a_n=\frac{V^2}{R} \Longrightarrow A_s=m\,\frac{V^2}{R}\hspace{1cm}m\,\frac{V^2}{R}\hspace{0,2cm}portata\,a\,primo\,membro\,e'\,la\,F_C}}$ .

Rimettiamoci nell’auto, nel sistema non inerziale e percorriamo la curva parabolica.

Dobbiamo fare attenzione ad un particolare, l’auto ora percorre una circonferenza diversa da quella di prima, inoltre la forza centrifuga non e’ lungo la strada perche’ essa tiene la direzione del raggio.

Riscriviamo le solite equazioni lungo gli assi che ora chiamiamo x e y

asse y : R_n – Pcosθ – F_csinθ = 0 ⇒ R_n = Pcosθ + F_csinθ

asse x : A_s – F_ccosθ + Psinθ = 0 ⇒ A_s = F_ccosθ – Psinθ

Sappiamo che la condizione per avere il caso statico e’

A_s ≤ A_max = μ_sR_n quindi si ha

F_ccosθ – Psinθ ≤ μ_s ( Pcosθ + F_csinθ) Da questa ci ricaviamo la F_c

F_ccosθ – μ_s F_csinθ ≤ μ_s Pcosθ + Psinθ

F_c (cosθ – μ_ssinθ) ≤ P(μ_scosθ + sinθ)

$\displaystyle{\mathbf{F_c\leq P\,\frac{\mu_s\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}}}$ .

Dividiamo la frazione a numeratore e a denominatore per cosθ

$\displaystyle{\mathbf{F_c\leq P\,\frac{\mu_s+\tan\theta}{1-\mu_s\tan\theta}}}$ .

Volendo esagerare possiamo ricordarci che μ_s = tanφ_s dove φ_s e’ l’angolo di semiapertura del cono di attrito, allora :

$\displaystyle{\mathbf{F_c\leq P\,\frac{\tan\phi_s+\tan\theta}{1-\tan\phi_s\tan\theta}}}$ .

Se riusciamo anche a ricordarci la trigonometria

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\tan\phi_s+\tan\theta}{1-\tan\phi_s\tan\theta}=\tan (\phi_s+\theta )}}$ .

Possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{F_c\leq P\,\tan (\phi_s+\theta )}}$ .

Adesso vogliamo calcolarci la V_max . Ripartiamo dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{F_c\leq P\,\frac{\mu_s+\tan\theta}{1-\mu_s\tan\theta}}}$ .

e teniamo conto che

$\displaystyle{\mathbf{F_c=m\,\frac{V^2}{R}\:e\,che\:P=mg}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{V^2}{R}\leq g\,\frac{\mu_s+\tan\theta}{1-\mu_s\tan\theta}\hspace{0,3cm}\Longrightarrow V\leq \sqrt{gR\left (\frac{\mu_s+\tan\theta}{1-\mu_s\tan\theta}\right )}=V_{max}(\theta) }}$ .

La velocita’ massima dipende dall’angolo di sopraelevazione della curva. Se θ = 0 ritroviamo il caso di curva non parabolica.

Nella prossima lezione affrontiamo il pendolo conico, siate ben certi di aver capito quello normale prima di andare avanti.

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