Lavoro della forza peso

Vediamo come la forza peso P compie lavoro. Consideriamo una massa M, un grave, che scende dal punto 1 al punto 2

Non consideriamo l’attrito, la reazione vincolare, .. perche’ ci interessa soltanto il lavoro della forza peso.

La forza peso P produce lavoro perche’ produce lo spostamento ΔS, sappiamo che tale lavoro e’ dato da

$\displaystyle{\mathbf{L_{1,2}=\int_{1}^{2}\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{s}}}$ .

In generale il lavoro lo otteniamo spezzetando lo spostamento in tanti ds elementari, dove possiamo ritenere la forza costante, e integrando. Pero’ in questo caso, la forza peso e’ sempre costante (P e’ costante) quindi

$\displaystyle{\mathbf{L_{1,2}=\overrightarrow{P}\cdot\int_{1}^{2} d\overrightarrow{s}=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{S}}}$

L’integrale tra 1 e 2 di ds e’ pari a S₂ – S₁ = S.

Questo vale sempre quando le forze sono costanti, si possono portare fuori dall’integrale. Ora sostituiamo a P la sua espressione e sviluppiamo il prodotto scalare

$\displaystyle{\mathbf{L_{1,2}=m\,g\,s\cos\left (\frac{\pi}{2}-\alpha\right )}}$

L’angolo tra P e S non e’ α ma il complementare π/2 – α. Dobbiamo ricordarci un po’ di trigonometria

$\displaystyle{\mathbf{\cos\left (\frac{\pi}{2}-\alpha\right )=\sin\alpha}}$

e il lavoro diventa

L_1,2 = m g s sinα

Spesso negli esercizi e’ dato h, dislivello tra partenza e arrivo, e non S, basta pero’ porre

$\displaystyle{\mathbf{s=\frac{h}{\sin\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{1,2}=m\,g\,\sin\alpha=m\,g\,\frac{h}{\sin\alpha}\,\sin\alpha=m\,g\,h\,}}$

L_1,2 = m g h

Il lavoro dipende solo dalla differenza di quota, non dipende dall’angolo di inclinazione. Questo vuol dire che possiamo prescindere dalla presenza del piano inclinato, in parole povere non ci interessa come e’ passato dalla quota 1 alla quota 2, ma solo la differenza di quota. Buttiamo via il piano inclinato e consideriamo lo stesso grave che si sposta da un punto A ad un punto B lungo una traiettoria qualsiasi

Se la traiettoria e’ quella di figura, ovviamente vuol dire che ci sono altre forze oltre alla forza peso P.

In qualunque punto della traiettoria, il lavoro compiuto da P per lo spostamento elementare ds e :

dL = P ds cosθ

Purtroppo l’angolo θ cambia in continuazione, quindi procediamo per altra via e utilizziamo le priezioni lungo gli assi, quindi scomponiamo P e S secondo x, y, z e ne facciamo il prodotto scalare. Sappiamo che rimangono solo pochi termini

dL = P_x d_x + P_y d_y + P_zd_z

In questo caso, della forza peso, posso togliere ancora altri termini perche’ P non ha tutte queste componenti, ha solo la P_z il cui modulo e’ mg o meglio – mg visto che l’asse z e’ rivolto verso l’alto e P verso il basso

dL = – m g d_z

Per avere il lavoro complessivo devo sommare tutti i contributi elementari

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}\,dL=\int_{Z_A}^{Z_B}-m\,g\,dz=-m\,g\int_{Z_A}^{Z_B}dz=-m\,g\,(z_B-z_A)=m\,g\,(z_A-z_B)=m\,g\,h}}$

Abbiamo ritrovato il risultaro di prima, quello con il piano inclinato. Il lavoro della forza peso P e’ indipendente dal percorso. P e’ una forza conservativa.

Se z_A > z_B quindi se scendiamo di quota, il lavoro e’ positivo L > 0

Se z_A < z_B quindi se saliamo di quota, il lavoro e’ negativo L < 0

Se z_A = z_B quindi se la quota non varia il lavoro e’ nullo L = 0

La tendenza naturale di P, quella con L > 0, e’ di far cadere gli oggetti, se L < 0 vuol dire che non e’ P a provocare la salita dell’oggetto e’ un lavoro non spontaneo per P.

Nella prossima lezione affrontiamo il lavoro della forza elastica.

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Lavoro della forza peso

Prossima lezione Lavoro della forza elastica