Funzioni senx cosx tgx ctgx

In questa lezione definiamo le funzioni senx cosx tgx ctgx.

Funzione seno

Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia quella circonferenza con centro nell’origine degli assi cartesiani e raggio unitario.

Dato che la circonferenza ha raggio unitario, la sua lunghezza (2πr) sarà 2π. Allora ogni numero reale α contenuto nell’intervallo [0,2π] determina un punto sulla circonferenza in modo che l’arco AP ha lunghezza proprio uguale ad α.

In maniera più semplice, se il raggio è uguale a 1, la lunghezza dell’arco è pari alla misura dell’angolo.

Definiamo senα l’ordinata del punto P.

Dalla figura risulta evidente che i valori assunti dal senα sono compresi tra -1 e +1

-1 ≤ senα ≤ +1

In particolare :

nel primo quadrante, dove 0 ≤ α ≤ π/2 , 0 ≤ senα ≤ 1

nel secondo quadrante, dove π/2 ≤ α ≤ π , 0 ≤ senα ≤ 1

nel terzo quadrante, dove π ≤ α ≤ 3/2 π , -1 ≤ senα ≤ 0

nel quarto quadrante, dove 3/2 π ≤ α ≤ 2π , -1 ≤ senα ≤ 0

E’ importante conoscere i valori che assume il senα per alcuni angoli particolari. Sulla circonferenza goniometrica leggiamo direttamente

per α = 0 ⇒ senα = 0

per α = π/2 ⇒ senα = 1

per α = π ⇒ senα = 0

per α = 3/2 π ⇒ senα = -1

per α = 2π ⇒ senα = 0

Vediamo anche il caso, non meno importante, di valori non immediati.

α = π/6 (30⁰)

Consideriamo il triangolo rettangolo OHP. Se α = 30⁰, PH è la metà dell’ipotenusa OP. Dato che

OP = 1 ⇒ PH = 1/2

Ma PH è proprio senα

sen π/6 = 1/2

α = π/4 (45⁰)

Il triangolo OHP è sempre rettangolo, α vale 45⁰, quindi anche l’angolo in P è di 45⁰, allora

OH = OP

Applichiamo il teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{OP=1=\sqrt{(OH)^2+(PH)^2}=\sqrt{2(PH)^2}=PH\sqrt{2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{PH\sqrt{2}=1 \,\Longrightarrow\, PH=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} }}$

Ma PH = senα

sen π/4 = √2 / 2

α = π/3 ( 60⁰)

OHP è un triangolo rettangolo, α = 60⁰, allora l’angolo in P = 30⁰è

$\displaystyle{\mathbf{OH=\frac{1}{2}\, OP}}$

Dal teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{PH=\sqrt{(OP)^2-(OH)^2}=\sqrt{(OP)^2-\Bigl (\frac{1}{2}\, OP \Bigr )^2}=OP\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Ricordiamoci che OP = 1

Dato che PH = senα

sen π/3 = √3 / 2

Notiamo che una volta percorsa tutta la circonferenza (in senso antiorario) da 0 2π, possiamo ripetere il giro. Così facendo ritroviamo gli stessi valori già visti per il senα. Ad esempio

$\displaystyle{\mathbf{\sin (2\pi + 2\pi)=sen (4\pi)}}$

Abbiamo fatto due volte il giro

$\displaystyle{\mathbf{\sin (pi + 2\pi)=sen (3\pi)}}$

Un giro e mezzo

In generale

$\displaystyle{\mathbf{\sin \alpha=sen (\alpha + 2K\pi)}}$

K è un numero naturale K = 0,1,2,……

Tutto questo per dire che la funzione senα si ripete uguale ogni 2π, ossia:

La funzione senα è periodica con periodo 2π.

Possiamo disegnare il grafico della funzione senα riportando i valori di senα in funzione degli angoli

Si vede bene che la funzione si ripete con periodo 2π.

Funzione coseno

Questa volta ci interessa l’ascissa del punto P, che viene detta cosα.

Dato che il raggio della circonferenza vale 1, anche per il cosα si ha:

-1 ≤ cosα ≤ +1

Senza ripetere i ragionamenti di prima, si vede facilmente che

cos0 = 1

cos π/2 = 0

cos π = -1

cos 3/2 π = 0

cos 2π = 1

Altri angoli particolari

$\displaystyle{\mathbf{\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}}$

Questi valori si ottengono sempre studiando il triangolo OHP.

Ovviamente anche la funzione coseno è periodica di periodo 2π.

Grafico della funzione coseno

Funzione coseno

Funzione tangente

Riprendiamo la circonferenza goniometrica

Si considera la retta verticale passante per il punto A(1,0). Essa interseca la retta passante per P nel punto T.

L’ordinata del punto T e detta tangente dell’angolo α

tgα

Il punto T ha coordinate 1 e tgα T(1,tgα).

Attenzione : la retta passante per P può intersecare la retta che passa per A e T solo se non è verticale. Questo esclude, per α i valori π/2 e 3/2 π.

Vediamo come varia l tangente al variare dell’angolo.

Se α = 0 il punto T coincide con il punto A T ≡ A e l’ordinata di T è nulla

tg 0 = 0

Se 0 <α < π/2

siamo nel caso della figura di sopra, il punto T è nel primo quadrante e la tangente assume valori sempre positivi e crescenti al crescere dell’angolo.

Se π/2 <α < π

Ora il punto T è nel quarto quadrante e la tangente assume valori sempre negativi andando verso il valore zero.

tgα < 0

Se π <α < 3/2 π

La tangente torna ad essere positiva, il punto T è di nuovo nel primo quadrante.

La tangente assume gli stessi valori positivi già assunti tra 0 e π/2

Se 3/2 π <α < 2 π

Il punto T è di nuovo nel quarto quadrante, la tangente assume gli stessi valori negativi che aveva tra π/2 e π.

Dobbiamo mettere in evidenza due cos

1) Per l tangente ci sono dei valori due valori non ammissibili π/2 e 3/2 π. Tenendo conto che anche la funzione tangente è periodica, dobbiamo eliminare tutti i punti

$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \frac{\pi}{2}\, +2\pi\, ; \, \frac{\pi}{2}\, +4\pi \, ; \, \cdots}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \frac{3}{2}\, \pi +2\pi\, ; \, \frac{3}{2}\, \pi +4\pi \, ; \, \cdots}}$ .

In definitiva dobbiamo togliere i valori

$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \frac{\pi}{2}\, +K\pi}}$

Con K numero naturale.

2) Abbiamo visto che i valori assunti dalla tangente tra 0 e π sono gli stessi che ritroviamo nell’intervallo π, 2π , possiamo dire che

la funzione tangente è periodica di periodo π

$\displaystyle{\mathbf{\tan\alpha = \tan(\alpha +\pi)}}$

Riportando i valori della tangente in funzione degli angoli otteniamo il grafico della funzione tangente

Il grafico è composto da infiniti rami che si ripetono. La curva ha infiniti asintoti verticali nei punti dove non è definita.

Notiamo anche che essa è simmetrica rispetto all’origine

$\displaystyle{\mathbf{\tan (-\alpha) = -\tan\alpha}}$

Prossima lezione Relazioni fondamentali della trigonometria