Moto circolare uniforme

Sappiamo cosa e’ un moto circolare, se si tratta un moto circolare uniforme vuol dire che la circonferenza viene percorsa a velocita’ costante. Attenzione e’ solo il modulo della velocita’ a rimanere costante, perchè la sua direzione varia da punto a punto. Dobbiamo allora dire che la circonferenza e’ percorsa con il modulo della velocita’ costante.

La lunghezza del vettore V e’ sempre la stessa, ossia il punto materiale percorre stessi spazi nello stesso tempo, pero’, essendo il vettore V tangente alla circonferenza, varia da istante ad istante. Da notare che e’ solo nel caso di moto rettilineo che posso parlare di velocita’ costante, se ho una curva il vettore velocita’ varia in direzione, anche rimanendo costante in modulo.

Se il modulo e’ costante lo chiamo V₀ e pongo

V₀ = ω R

Dato che R e’ sicuramente costante, essendo il raggio della circonferenza, anche ω e’ costante

V₀ = ω₀ R

Il pedice ₀ ci indica che non si tratta di una funzione ma di un numero.

Ma se ω e’ costante, come conseguenza si ha che :

$\displaystyle{\mathbf{\alpha=\frac{d\omega}{dt}=0}}$ .

Non c’e’ accelerazione angolare. Inoltre :

a_t = α R = 0 non c’e’ accelerazione tangenziale

Ancora :

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{d\phi}{dt}\Longrightarrow d\phi=\omega dt \Longrightarrow \int_{0}^{\phi}\,d\phi=\int_{0}^{t}\omega\,dt \Longrightarrow \phi = \omega_0\int_{0}^{t}\,dt = \omega_0 t}}$ .

Se il punto materiale non parte dall’origine degli archi A ma ad esempio da P, dobbiamo aggiungere una fase iniziale

Φ(t) = ω₀ t + Φ₀

V in modulo rimane sempre la stessa

ω rimane la stessa

a non e’ mai tangenziale, ma normale e diretta verso il centro della traiettoria

Calcoliamo il periodo T, ossia il tempo impiegato a compiere un giro completo. Dato che V = V₀ = costante, possiamo scrivere semplicemente

$\displaystyle{\mathbf{v_0 = \frac{s}{t} = \frac{2\pi R}{T}}}$ .

Tenendo conto che V₀ = ω₀ R si ha

$\displaystyle{\mathbf{\omega_0 R = \frac{2\pi R}{T} \Longrightarrow T = \frac{2\pi}{\omega_0}}}$ .

Ovviamente lo spazio percorso in un giro e’ 2πR, sempre ovviamente

$\displaystyle{\mathbf{T = \frac{2\pi}{\omega_0} \Longrightarrow \omega_0 = \frac{2\pi}{T}}}$ .

Vogliamo ora scomporre il moto circolare uniforme nei suoi moti componenti lungo x e y, come abbiamo gia’ visto in altre occasioni. Dobbiamo introdurre gli assi x e y

Mentre il punto P si sposta, Φ varia, dovremmo porre Φ(t)

X(t) e Y(t) sono le proiezioni di P lungo X e Y, sono le sue componenti

Dato che R e’ costante non dovremmo avere difficolta’ a scrivere

X(t) = R cosΦ(t)

Y(t) = R sinΦ(t)

Nel caso generale, in cui si ha una fase iniziale, P non parte dall’origine degli archi, avevamo posto Φ(t) = ω₀ t + Φ₀

X(t) = R cos( ω₀ t + Φ₀)

Y(t) = R sin( ω₀ t + Φ₀)

Questi sono i moti componenti da cui vediamo che mentre il punto descrive una circonferenza, essi descrivono due moti armonici di pulsazione ω₀ coincidente con la velocita’ angolare ω. Questa coincidenza c’e’ solo perche’ ω e’ costante. Quando il punto materiale ruota, con velocita’ costante, lungo la circonferenza, le componenti X e Y variano da +R a -R. Questi due moti armonici sono sfasati di π/2 e la loro composizione e’ una ciconferenza. Se lo sfasamento fosse ≠ ½π si formerebbero altre figure.

Trovati i moti componenti e’ facile passare alle componenti della velocita’, basta derivare

$\displaystyle{\mathbf{v_x = \frac{dx}{dt} = -R\omega_0 \sin {( \omega_0 t} + \phi_0)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_y = \frac{dy}{dt} = R\omega_0 \cos {( \omega_0 t} + \phi_0)}}$ .

Per passare alle accelerazioni dobbiamo derivare di nuovo

$\displaystyle{\mathbf{a_x = \frac{dv_x}{dt} = -R \omega^2 \cos(\omega_0 t + \phi_0)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_y = \frac{dv_y}{dt} = -R \omega^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0)}}$ .

Dato che R cos(ω₀t + Φ₀) = X(t) e R sin(ω₀t + Φ₀) = Y(t)

a_x = – ω₀² x(t)

a_y= – ω_0²y(t)

Ci rimane da calcolare a

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = -\omega_0^2 x \cdot\hat{i} -\omega_0^2 y\cdot\hat{j} = -\omega_0^2(x\cdot\hat{i} + y\cdot\hat{j}) = -\omega_0^2 \overrightarrow{r}}}$ .

Dato che $\displaystyle{\mathbf{x \cdot\hat{i} + y \cdot\hat{j} = \overrightarrow{r}}}$ .

Notare che il vettore a e’ contrario al vettore r, dato che r e’ diretto verso l’esterno, a sara’ diretta verso l’interno, ed e’ normale alla traiettoria.

Con la prossima lezione passiamo ad un argomento da studiare con molta attenzione. Vai a Moti relativi