Studio dei circuiti elettrici serie e parallelo

Questa lezione sullo studio dei circuiti elettrici serie e parallelo è per il liceo, per l’università l trovi a questo link Circuiti elettrici resistenze serie e parallelo. Però, fossi in te darei uno sguardo anche in questa lezione.

Iniziamo lo studio con questo circuito

Vediamo che ha una maglia e nessun nodo. Se non sai di cosa parliamo torna alla lezione precedente.

La corrente è sempre la stessa. Le due resistenze sono attraversate dalla stessa corrente. In questo caso sono collegate in serie.

Due o più resistenze sono collegate in serie se attraversate dalla stessa corrente.

Scriviamo la legge di Ohm per ogni tratto resistivo.

Tratto AB:

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_1\, I}}$

Tratto BC:

$\displaystyle{\mathbf{V_B-V_C=R_2\, I}}$

Tra C e A troviamo il generatore

$\displaystyle{\mathbf{V_C-V_A=-V}}$

-V perché l d.d.p. ai capi del generatore è V_A– V_C , la tensione maggiore è V_A

Ora consideriamo tutte e tre le relazioni insieme

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=R_1\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_B-V_C=R_2\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_C-V_A=-V}}$

e le sommiamo membro a membro

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B+V_B-V_C+V_C-V_A=R_1\, I+R_2\, I-V}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{0=R_1\, I+R_2\, I-V}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V=R_1\, I+R_2\, I}}$

La tensione del generatore è uguale alla somma delle cadute di tensione sulle due resistenze.

Questo vale per 2, 3, ….. , n resistenze in serie.

Dato che la corrente è sempre la stessa, la possiamo mettere in evidenza

$\displaystyle{\mathbf{V=I(R_1+R_2)}}$

R₁+R₂è la resistenza totale del circuito. Questo significa che al posto delle due resistenze posso metterne una sola pari alla somma delle due senza alterare il funzionamento del circuito.

Questa unica resistenza viene anche detta resistenza equivalente.

La resistenza equivalente di 2 o più resistenze collegate in serie è pari alla somma di tutte le resistenze. Nel caso di n resistenze

$\displaystyle{\mathbf{R_{eq}=R_1+R_2+\,\cdots\, +R_n}}$

Se dobbiamo trovare la corrente erogata dal generatore avendo V e le R

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{V}{R_1+R_2}}}$

Una volta trovata la corrente è semplice trovare la d.d.p. sulle resistenze, sempre applicando la legge di Ohm

$\displaystyle{\mathbf{V_{R_1}=R_1\, I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_{R_2}=R_2\, I}}$

Cambiamo tipo di circuito

Questa volta la corrente non è la stessa, la I si divide nelle due correnti I₁e I₂nel nodo A.

Il circuito presenta due nodi e tre maglie.

Quello che hanno di uguale è la d.d.p. ai loro capi, diciamo allora che esse sono collegate in parallelo.

Due o più resistenze sono collegate in parallelo se hanno la stessa d.d.p. ai loro capi.

$\displaystyle{\mathbf{V=V_{AB}=R_1\, I_1=R_2\, I_2}}$

La corrente erogata dal generatore è I

$\displaystyle{\mathbf{I=I_1+I_2}}$

La corrente totale, sempre applicando Ohm, è data dalla tensione del generatore diviso la resistenza totale presentata dal circuito

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{V}{R_{eq}}}}$

Inoltre

$\displaystyle{\mathbf{I_1=\frac{V}{R_1}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I_2=\frac{V}{R_2}}}$

Allora

$\displaystyle{\mathbf{I=I_1+I_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{V}{R_{eq}}=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}}}$

Possiamo dividere tutto per V

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}}$

Il reciproco della resistenza equivalente di due o più resistenze collegate in parallelo è pari alla somma dei reciproci di tutte le resistenze. Se le resistenze sono n

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\,\cdots\, +\frac{1}{R_n}}}$

Nel caso di due sole resistenze possiamo utilizzare un’altra relazione

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}}}$

Rigiriamo il tutto

$\displaystyle{\mathbf{R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}}$

Alle due resistenze possiamo sostituire un unica resistenza data dalla relazione appena scritta

Il circuito diventa questo. Ora calcolare l corrente erogata dal generatore è molto semplice.

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{V}{R_{eq}}}}$

I circuiti che incontriamo negli esercizi hanno collegamenti sia in serie che in parallelo. Vediamo un esempio

R₁= 7 Ω f = 18 V

R₂= 6 Ω

R₃= 3 Ω

Vogliamo trovare la corrente erogata dal generatore.

Dobbiamo semplificare il circuito. Come prima cosa notiamo che R₂e R₃sono collegate in parallelo. Chiamiamo R_pil parallelo delle due

$\displaystyle{\mathbf{R_p=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\frac{6\times 3}{6+3}=2 \,\Omega}}$

Ridisegniamo il circuito

Al posto delle due resistenze in parallelo abbiamo messo la loro resistenza equivalente.

Ora abbiamo un circuito con due resistenze in serie. La resistenza totale presentata dal circuito è:

$\displaystyle{\mathbf{R_t=R_1+R_p=7+2=9\,\Omega}}$

Disegniamo di nuovo il circuito

Calcolare la corrente erogata dal generatore è ora semplice

$\displaystyle{\mathbf{I=\frac{f}{R_t}=\frac{18}{9}=2\, A}}$

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