Esercizio 1 cinematica

Un punto materiale si muove lungo l’asse x con legge oraria

V(t) = V₀ + a t

dove V₀ = 2 m/s e a = 9,81 m/s²

All’istante t = 0 il punto materiale si trova in x = 2 m

Determinare

1) Dove si trova il punto materiale all’istante t = 1 s

2) Il tempo in cui raggiunge la posizione x = 4 m

Iniziamo dal punto 1) dobbiamo trovare la posizione del punto dopo 1 s. Si tratta di un moto rettilineo in quanto si svolge lungo la retta x, ma non e’ uniforme perche’ la velocita’ varia. Quello che e’ costante e’ l’accelerazione. Quello che noi conosciamo e’ come varia la sua velocita’, abbiamo la legge con cui varia v(t) = v₀ + at. Come trovare lo spazio percorso avendo la velocita’ ?

Ricordiamo che la velocita’ e’ la derivata dello spazio rispetto al tempo, allora lo spazio sara’ l’integrale della velocita’ (spero che con analisi 1 sei a posto)

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{dx}{dt} \Longrightarrow dx=vdt}}$

da cui integrando

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x}\,dx=\int_{t_0}^{t}(v_0+at)\,dt}}$

Notate che ogni integrale ha il proprio dominio di integrazione, quello a sinistra e’ nel dominio di x, quindi ha x₀ e x come estremi di integrazione, il secondo e’ nel dominio del tempo e cpme estremi ha t₀ e t.

Risolvere questo integrale e’ molto semplice, prima cosa lo dividiamo in due integrali visto che abbiamo una somma

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x}\,dx =\int_{t_0}^{t}V_0 \,dt +\int_{t_0}^{t}a t \,dt}}$

nel nostro caso V₀ e a (accelerazione) sono costanti quindi li possiamo portare fuori dal segno di integrale

$\displaystyle{\mathbf{\int_{x_0}^{x}\,dx =V_0\int_{t_0}^{t} \,dt +a\int_{t_0}^{t} t \,dt}}$

ora possiamo risolvere

$\mathbf{x- x_0 = V_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \Longrightarrow x=V_0 t + \frac{1}{2} a t^2+x_0}$

X e’ la posizione all’istante generico t, X₀ e’ la posizione all’istante t=0, nel nostro caso X_0 = 2

Trovata l’espressione dello spazio per avere la posizione del punto all’istante t = 1 s, basta sostituire a t questo valore e a V₀ e a i valori dati dal problema

$\mathbf{x(1) = 2 \times 1 +\displaystyle{ \frac{1}{2}} \times 9,81\times 1 + 2 = 8,9 m }$

Per rispondere alla seconda domanda poniamo l’equazione trovata per lo spazio uguale a 4 m e poi ricaviamo il tempo

$\mathbf{4 = V_0 t + \frac{1}{2} a t^2 + x_0}$

inserendo i dati del problema

2 t + 4,9 t² + X₀ + 2 = 4 ⇒ 4,9 t² +2 t – 2 = 0

Questa e’ un’equazione di secondo grado, quindi con due soluzioni, scartando quella negativa, ci rimane

t = 0,466 s