Potenziale di un anello uniformemente carico

Vogliamo calcolare il potenziale generato da un anello uniformemente carico in un punto P

L’anello è schiacciato perchè è visto un pò di lato, per rendere più chiaro il disegno.

Consideriamo un elementino di carica dq, disegniamo la distanza r di dq dal punto di osservazione scelto P.

R è il raggio dell’anello e x la distanza del centro dell’anello da P.

La distanza r di dq da P la possiamo calcolare molto semplicemente con il teorema di Pitagora.

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{R^2+x^2}}}$

La carica infinitesima dq crea, nel punto P il potenziale infinitesimo dV

$\displaystyle{\mathbf{dV=\frac{dq}{4\pi\epsilon_o\, r}\, =\,\frac{dq}{4\pi\epsilon_o\,\sqrt{R^2+x^2}}}}$

A questo punto basta notare che tutti gli elementini di carica dq lungo l’anello hanno la stessa distanza da P, punto nel quale vogliamo calcolare il potenziale. Questo vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{R^2+x^2}}}$

è un valore costante, quindi lo possiamo portare fuori dall’integrale.

$\displaystyle{\mathbf{V=\int dV=\int\frac{dq}{4\pi\epsilon_o\,\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o\,\sqrt{R^2+x^2}}\,\int\, dq=\frac{q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\,\sqrt{R^2+x^2}}}}$

In questo caso, molto semplice, abbiamo calcolato direttamente il potenziale senza utilizzare il campo elettrico. In altri casi, dalla prossima lezione, occorre prima ricordare i risultati ottenuti applicando il teorema di Gauss per il calcolo del campo elettrico, poi, per integrazione, ricavare il potenziale V.