Esercizi potenziale elettrico e lavoro

Questa sezione di esercizi potenziale elettrico e lavoro inizia con problemi semplici fino ad arrivare a cose piuttosto complesse. Seguite gradualmente il percorso.

Esercizio 1

Data la caria puntiforme +q = 30 μC calcolare la differenza di potenziale tra i punti A e B (come da figura) che distano rispettivamente r_A= 5 m e r_B= 2m dalla carica q.

d.d.p. tra i punti A e B Differenza di potenziale tra i punti A e B

$\displaystyle{\mathbf{V(B)-V(A)}}$

V(B) è il potenziale generato dalla carica +q nel punto B, mentre V(A) quello, sempre generato da +q, nel punto A.

Iniziamo a calcolarci V(B)

Se ci ricordiamo che

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{q}{4\pi\epsilon_o r}}}$

siamo a posto, basta applicare questa relazione per r = r_A poi per r = r_Be, infine, fare la differenza. Se non ricordiamo le cose a memoria, ce le dobbiamo ricavare.

Il lavoro per portare una carica da un punto A ad un punto P

$\displaystyle{\mathbf{L=\int_A^P\overrightarrow{\mathbf{F}}_e\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L=q\int_A^P\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$

Dividendo tutto per la carica q

$\displaystyle{\mathbf{V=\int_A^P\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$

Per avere il potenziale nel punto A, come estremo di integrazione P prendiamo P_rif, quello all’infinito dove poniamo V = 0

$\displaystyle{\mathbf{V(A)=\int_A^{P_{rif}}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$

Come percorso scegliamo quello radiale, lungo il raggio per andare da A all’infinito. Possiamo sceglierlo come vogliamo perché la forza elettrica è conservativa, il campo elettrico pure.

Con questa scelta il prodotto scalare è massimo

$\displaystyle{\mathbf{V(A)=\int_A^{P_{rif}}E\, dr}}$

Sostituiamo al campo elettrico la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V(A)=\int_A^{P_{rif}}\frac{q}{4\pi\epsilon_o r^2}\, dr=\frac{q}{4\pi\epsilon_o r_A}-\frac{q}{4\pi\epsilon_o r_{rif}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_o r_A}}}$

Analogamente

$\displaystyle{\mathbf{V(B)=\frac{q}{4\pi\epsilon_o r_B}}}$

Infine

$\displaystyle{\mathbf{V(B)-V(A)=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\Biggl (\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\Biggr )=81\times 10^3V}}$

Esercizio 2

Trovare il potenziale elettrostatico nel punto P(3,5,2) generato dalle due cariche q₁= 4 μC e q₂= -5 μC poste nei punti P₁(2,0,0) e P₂(-2,0,0).

Questa è a figura che rappresenta il nostro esercizio.

il potenziale nel punto P è dato dalla somma dei potenziali dovuti alle due cariche. In generale

$\displaystyle{\mathbf{V=\sum_i V_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_i \frac{q_i}{r_i}}}$

Dato che siamo nello spazio a tre dimensioni:

$\displaystyle{\mathbf{r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}$

Nel nostro caso

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\Biggl (\frac{4\times 10^{-6}}{\sqrt{(3-2)^2+(5-0)^2+(2-0)^2}}+\frac{-5\times 10^{-6}}{\sqrt{(3+2)^2+(5-0)^2+(2-0)^2}}\Biggr )=446V}}$

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